Как определить простое число?

Арифметика – наука для любознательных.
Она из многих делает очень внимательных!
По формулам простых чисел строили даже пирамиды древнего Египта
В былые года, возможно, всегда!
________________
     Любое целое число ЦЧ равно 0, 1, 2, 3, 4, 5, …
может быть составным или простым числом:
   составным числом СЧ (произведением двух и более целых чётных чисел  (кратных 2)
   или произведением двух и более нечётных чисел (больших или равных 3)
СЧ=ЦЧхЦЧ
либо  простым числом, которое делится только на 1 и на самого себя,
например 3, 5, 7, 11, 13, 17,  ..…
    Любое  простое число (большее или равное 3) – нечётное,
 не являются составным,
больше или меньше соседних с ним составных чисел,
если разность большего и меньшего соседних составных чисел не равно 2
(например, соседние составные числа 49 и 51, где 51-49=2, 
не содержат между собой нечётного простого счисла)

    Поскольку любое нечётное число НЧ  имеет  формулу
НЧ = 2а+1, где а - любое целое число, равное  1, 2, 3, 4, 5, … 
или формулу
НЧ= 2а+1 +2с, где а = 1, 2, 3, 4, 5, …;  с=0, 1, 2, 3, 4, 5, …

То любое составное число СЧ=ЦЧхЦЧ    является квадратом целого числа
9, 25, 49, 81, 121, …
или произведением нечётных чисел
3х3=9, 3х5=15,  3х7=21, 5х5=25,  3х9=27, 3х11=33, 5х7=35, 3х13=39, 3х15=5х9=45, 7х7=49, 51, …

  Формула любого составного числа:
   СЧ= (2а+1)х(2а+1 +2с) = (2а+1)х(2а+1) + 2с (2а+1)  + {+(с в квадрате)  – (с в квадрате)} =
         = [(2а+1 +с) в квадрате)]  -  [c в квадрате]    
при с =0, 1, 2, 3, 4…   .
то есть

   СЧ = [(2а+1 +с) х (2а+1 +с)]  -  [cхс]    

3х3- (0х0) = 9,  4х4 -(1х1) =15,  5х5 – (2х2)=21, 6х6 – (3х3) = 27, 7х7 – (4х4) = 33, …

_____
Поскольку все простые числа (кроме числа 2) - нечётные , то любое простое число находится между двумя соседними составными числами, разность между которыми больше 2
(например, между СЧ= 49 и СЧ=51  нет простого нечётного числа ПЧ ).

То есть между двумя соседними состаынми числами составными числами
 9         15      21   25  27        33   35    39
составные числа
  11, 13   17, 19  23         29 31          37

______
   Таким образом, искомое число ИЧ в качесте  возможного простого числа ПЧ определяется из неравенства:
СЧм <  ИЧ  < СЧб ,
где ближайшее меньшее СЧ = СЧм, а ближайшее большее СЧ = СЧб
и  (СЧб – СЧм) > 2
 
     CЧ =[(2а+1 +с) х (2а+1 +с)]  -  [cхс] 
 
Если искомое число ИЧ=СЧ,
nо есть корень квадратный из {ИЧ+(С в квадрате) } = (2а+1 +с) -  целое число.

Нечётное число =[(2а+1 +2с) = может быть искомое число?


Если определить с, как целое, то возможно отнести искомое число ИЧ - к СЧ или ПЧ.


  То есть зная квадраты чисел, можно по разности их определить:
относится ли искомое нечётное число ИЧ к простому или составному.
_____
Вариант поиска:
Начиная с младших разрядов, легко сравнить младшие разряды искомого числа
с разностью квадратов чисел, относимых к ближайшим составным числам из таблиц квадратов составных чисел.
Пример
7х7 – (4х4) = 49-16 = 33
                …9 - …. 6= …. 3