Легенда о шахматах и зернах

Легенда о шахматной доске и зернах (также известная как задача о зёрнах) — это древняя притча, которая наглядно объясняет силу геометрической прогрессии и экспоненциального роста.

Сюжет притчи

Согласно преданию, в Древней Индии мудрец по имени Сесса (или Сисса) изобрёл шахматы. Игра настолько восхитила местного правителя, царя Шерама, что тот пообещал исполнить любое желание изобретателя: «Проси всё, что хочешь, я достаточно богат!».

Мудрец попросил, на первый взгляд, сущую скромность:

На первую клетку шахматной доски положить 1 пшеничное зерно.

На вторую — 2 зерна.

На третью — 4 зерна, на четвёртую — 8, и так далее, удваивая количество на каждой следующей клетке.

Царь даже немного обиделся, посчитав просьбу ничтожной и недостойной его щедрости, и приказал казначеям немедленно выдать зерно.

Финал

Спустя несколько дней казначеи явились к царю в ужасе. Они подсчитали, что выполнить просьбу невозможно. Чтобы расплатиться с мудрецом, царю пришлось бы отдать весь мировой урожай пшеницы, собранный за тысячи лет.

Если выкладывать зёрна на шахматную доску, удваивая их количество на каждой следующей клетке (1 на первой, 2 на второй, 4 на третьей и так далее), то в сумме на всей доске из 64 клеток получится 18 446 744 073 709 551 615 зёрен.

Это число читается как 18 квинтиллионов 446 квадриллионов 744 триллиона 73 миллиарда 709 миллионов 551 тысяча 615.

Как это устроено:

Количество зёрен на каждой клетке — это степень двойки (от \(2^{0}\) на первой клетке до \(2^{63}\) на последней).

Общая сумма считается по формуле геометрической прогрессии: \(2^{64} - 1\).

Масштаб этой цифры:

Вес: Такое количество пшеницы весило бы примерно 460 миллиардов тонн.

Объём: Этого зерна хватило бы, чтобы покрыть всю поверхность Земли слоем толщиной около 1 сантиметра.

Производство: Чтобы вырастить столько пшеницы сегодня, всему человечеству пришлось бы собирать современные мировые урожаи непрерывно в течение ~600 лет.

Как правитель вышел из ситуации

По совету одного из своих умных казначеев или придворных математиков, царь призвал мудреца Сессу и сказал ему:

«О, великий мудрец! Я человек слова, и я готов выдать тебе всю награду до последнего зернышка! Но по закону нашей страны, ты должен отсчитать и забрать своё зерно сам».

Математический расчет здесь прост: если бы мудрец считал без перерыва, днем и ночью, со скоростью одно зерно в секунду, то:

За первые сутки он отсчитал бы всего 86 400 зёрен.

За 10 дней — чуть меньше миллиона.

Чтобы отсчитать хотя бы один кубический метр пшеницы, ему понадобилось бы около полугода.

За всю свою жизнь он не успел бы отсчитать и миллиардной доли обещанного.

Услышав это условие, мудрец рассмеялся, признал превосходство царя и отказался от награды, так как его главной целью было просто проучить правителя за хвастовство.