Теорема Курта Гёделя о неполноте

Математики в раздумье
Век двадцатый наступил.
Те из них, кто что-то думал,
Кто математику любил —
Тому Гильберт, мэтр усатый
Сам программу предложил.
Это был проект громадный:
Математику свести
К полной, без противоречий
С аксиомами внутри.
Три вопроса в том проекте:
О полноте, или иначе
Доказуемы ль задачи,
Те что истины кругом
Здесь, в системе аксиом?
Можно ль доказать в системе
Истину и с нею ложь,
И притом одновременно?
Противоречие. Сечёшь?
Нам же без противоречий
Система аксиом нужна.
Мэтр, задал ты нам задачу,
Она безумна и трудна,
Чтоб полна была система,
Без противоречий ритм
Но еще есть разрешимость:
Как найти нам алгоритм,
Чтоб суметь определить:
Истинно ли утверждение,
Или ложно? Как найти?
Объект исследования лестный!
Фигуры, числа, много текстов,
И доказательства уместны.
Они все в символы одеты,
Финитны методы понятные,
Встречаются и неформальные,
Например есть парадоксы,
Интересные, дотошные.
Методы все разрешаемы.
Интуитивно узнаваемы.
Отметил Гильберт: «Есть примеры!
В геометрии, ведь верно?
Там аксиомы создавали».
Геометры довольны стали.
Но к сожалению, случился крах:
Курт Гёдель появился. Ах!
И не один, а с теоремой,
Над коей он трудился в Вене.
И этот молодой учёный
Сказал: «Ваш план недоучтённый!
Хоть аксиомы найти сможем,
И истину найдём мы тоже,
Но нам ее не доказать
В системе аксиом никак.
Когда ж расширим мы систему,
Будет такая же проблема:
Хоть истинное утверждение,
И даже мощное терпение,
Нам не поможет доказать
Утверждение. Нынче иль потом
В новой системе аксиом.
Значит, неполный новый дом!
Зачем систему изменять,
Когда появится опять
Утверждение? Оно — истина,
Но доказать его немыслимо.
Значит, прав учёный Курт:
“Науку не перешагнуть!
В науке истинное все,
Нам нужно лишь понять её.
Курт, мальчишка понял вмиг,
И гениальный сделал сдвиг.
Но как он сделал свой проект.
Хотите мы продолжим? Нет?
Я слышу вы “хотим” сказали,
Ну что ж, друзья, вперёд. Погнали!
В то время Гёдель был студентом,
К тому ж любил эксперименты.
Он очарован был идеей.
И сразу понял, что сумеет
Найти решение вопросов
И кой кого оставит с носом.
Но Гильберта Курт уважал.
Когда узнал про три вопроса,
И сам себе он так сказал:
“Помогу Давиду-боссу.”
Доказательства по Гильберту,
В системах Гильберта важны.
Системы Гильберта чуть глубже,
Мы рассмотреть сейчас должны.
Тип Гильбертовских изысканий
Универсальный есть процесс.
В нём к математике старание
И логике он нужен здесь.
Процесс и к множествам коснется
И к геометрии вернется.
В нем аксиом довольно много,
А правил вывода немного.
И основное среди правил
Modus Ponens я так сказал бы,
Что значит “способ утверждений
Тоже посредством утверждения”.
Он в логике дедукций вывод:
Коль верно А и из него
Как следствие и В верно
Тогда мне хочется сказать:
В тоже верно- это факт..
Вывод - это есть цепочка
Формул логики , но точных.
Противоречивость доказать,
Проекту помощь нужно дать
Решил Гёдель базис взять
Область для работы.
Арифметика как раз
Подойти здесь может.
В ней и числа натуральны,к
С ними мыслить гениально.
Утверждения записать
В этой арифметике...
Что поможет описать
Формулы полегче.
Привести чтоб формулы
К числовому виду,
Нужно их кодировать,
Но так чтоб было видно,
И понятно как вернуться
К утверждению обратно.
И вот здесь Гёдель придумал
Гёделевскую нумерацию.
Когда Гёдель разработал
Свой гениальный инструмент,
Понял он, его работа
Уничтожит Гильберта проект.
Аксиоматика не сможет
Все доказательства вести.
Найдется истина такая
Недоказуема внутри.
Хотя и создана система
Из истинных всех аксиом,
Будет неполной, это верно,
Иль противоречивою притом.
Вот такое утверждение
Назвал Гёдель теоремой.
И имя ей сказал везде-
Теорема о неполноте.
А к нам пришла одна проблема
Понять нам эту теорему.
Этап один есть нумерация
И здесь нам нужно постараться,
Чтоб Курта мысли уловить,
А дальше будет легче жить.
Что дает нам нумерация?
Логики арифметизация.
И при этом бумерангом быть,
Чтоб утверждение не забыть.
Что ж такое нумерация-
Это коды, просто значит..
Коды формулам даны,
Числам, утверждениям
Помогают все они-
В доказательствах нужны.
Любая формула со смыслом
Принимает форму чисел,
С числами работать легче,
Логика ведь не исчезла,
Смысл логический остался,
В этом Гёдель постарался.
Цель - арифметизация
У гёделевской нумерации.
Своим именем назвал,
Гёдель коды, что создал.
И еще он цель поставил,
В кодах формулу составить,
Что может о себе сказать:
“ Я истина, но в этих аксиомах
Меня, друзья. не доказать.”
Способ Самореференции-
Шлет о себе корреспонденцию .
Последнее нам важно знать,
Чтоб теорему Гёделя понять.
Ниже нумерации мы узнаем метод,
Числовыми кодами символы отмечены.
А это переменные и скобки.
И даже операции. Не робко.
Коды символов универсальные,
Сами символы фундаментальные.
Необходимы нумерации,
Как фундамент унификации.
В диссертации Курт доказал
И затем он так сказал:
12 символов нам хватит,
Для формул свои коды вставить.
Противоречие немыслимо ,
Обратный ход у кода истинный.
Я покажу 5 символов всего,
И объясню кодирование. Всё!
‘О’- число, ему код 6 Курт дал,
Начало счета с ним всегда,
’S’ – вперед продолжит счет,
Эта функция код 7 берет
‘=‘ - знак равенства, код 5 берет,
‘х’ - знак умножения, 12 код.
Теперь мы двинемся вперед.
Мы маленький пример берем,
Составим код и все поймем.
Для натуральных чисел можно
Взять символ S – это не сложно.
S0 = 1, SS0 =2, ты S бери всегда
SSSSS0 = 5. Я думаю понятно. Да?
Теперь составить код простой
Для равенства 1=1 легко.
Запишем равенство из кодов,
S0=S0, оно понятное вам вроде
Посмотрим символьные коды:
(7, 6, 5, 7, 6) здесь кодов пять,
Теперь простые числа взять,
(2, 3, 5, 7, 11) и их нам надо пять
Пусть Y гёделево число
Его считать не тяжело
Y=(2^7)x(3^6)x (5^5)x(7^7)x(11^6)
Y = 4.25431762e20,
Оно большое, нам не повезло.
Прочитали вы? Узнали?
Я хочу у вас спросить:
Зачем простые числа Гёдель
Взял в Теорему? Ради моды?
Вот девушка сказала: «Нет!»
Тогда какой у вас ответ?
Простые числа — не для моды,
Смотрите степени, ведь это коды
Символов из утверждений.
Посмотрев на их значения,
Мы восстановим утверждение.
Гёдель создает текст-шаблон (А(х)),
Где место для пароля оставляет он.
Там пропуск был: «Впиши сюда число —
И предикат проверит, что за ним пришло».
Курт в функцию А(х) вписал
Свободную х-переменную.
Сама А(х) свой код имеет,
В нём номер гёделевский веет.
Гёдель настроил предикат,
Который вставить в х он рад.
А предикат у Курта прост:
«Утверждение с х-числом
Недоказуемо в системе аксиом».
Но мы хотим G истинное доказать,
У утверждения G не трудмо код узнать
Допустим, этот код есть «q».
Что дальше? Я вам расскажу:
Курт дальше подстановку применил —
В А(х) х на q-число сменилось!
И имя формулы А(q) в G изменилось.
Здесь Гёдель как бы зеркало поставил,
Чтоб утверждение G смогло
Себя найти, глядя в стекло,
И рассмеяться, говоря:
«Меня не доказать, это петля!»
Ведь G есть номер утверждения,
С которым говорим мы. Верно?
Стал очевиден Курта гениальный трюк:
Система неполна, тебе понятно друг!