Тетрация

Число. Рядом с ним — крошечная циферка, расположенная не справа вверху (как принято для степеней), а слева. Я тут же сделал скриншот, отправил его другу Роману с подписью «что это такое?» и через два часа получил ответ: «Понятия не имею, лол».

У нас с ним у обоих есть инженерное образование — и от этого было особенно неловко.

В итоге я в полночь погрузился в дилемму (самое неподходящее время для того, чтобы узнавать вещи, ломающие мозг). Вот что я выяснил — объясню так, как хотелось бы, чтобы объяснили мне.

Сначала договоримся о том, что такое степени. Я думал, что понимаю их, но оказалось — лишь частично.

квадрат 10; = 100. Два нуля. Ясно.
куб 10; = 1 000. Три нуля. Тоже понятно.

Но вот что никогда не доходило до меня в школе: переход между этими числами — резкий скачок. Разница между 100 и 1 000 — это не просто «+900». Представьте, что ваша зарплата за месяц выросла с 10 000 до 100 000 рублей. Вы не скажете: «Ой, прибавилось 90 штук». Ваша жизнь кардинально изменится. А это всего лишь прибавление одного нуля — увеличение показателя степени на единицу.

Каждый раз, когда показатель степени растёт на 1, число не просто увеличивается — оно умножает само себя. Разрыв становится всё больше с каждым шагом.

Это мы вроде бы учили. Все это учили.

Но чего я не узнал (и, видимо, большинство тоже) — что происходит с числом,
записываемым с помощью маленькой циферки слева вверху перед другой цифрой.
Это называется тетрация.
Тетрация — это математическая операция, которая является четвёртой по счёту гипероперацией после сложения, умножения и возведения в степень.
Она основана на ПОВТОРНОМ возведении в степень и используется для описания
очень больших чисел.

Для любого положительного вещественного числа a > 0 и
неотрицательного целого числа n большн 0
тетрацию ^na можно определить рекуррентно:
^0a = 1;
^na = a^((^(n-1)a)), если n > 0.
 

Это можно интерпретировать как «степенную башню»,
где возведение в степень начинается с самых дальних уровней к начальному.


Пример:
четвёртая тетрация двойки - двойка в 16 степени
^4; 2 = 2^(2^(2^2)) = 2^((2^(2^2))) = 2^(2^4) = 2^(16) = 65536.

Особенности тетрации
Некоммутативность. У тетрации есть две обратные операции — суперлогарифм и суперкорень, аналогичные тому, как возведение в степень имеет арифметический корень и логарифм.

Гиперболический рост. Скорость роста значения тетрации пропорциональна квадрату значения.

Не является элементарной функцией (за исключением случаев с постоянным натуральным показателем, когда тетрация выражается в виде степенной башни постоянной высоты).

Может быть обобщена на действительные, комплексные или порядковые числа.

И мне пришлось перечитывать объяснение четыре раза, чтобы уловить суть.

Если маленькая цифра стоит справа вверху, она показывает,
сколько раз умножить число само на себя.
Если слева — она указывает, сколько раз возвести в степень.
Например,
2;10 (вторая тетрация от 10) - это десять в десятой степени =  100
3;10 (третья тетрация от 10) — это не 10 в квадрате; а 100 в степени 100.
А 10;; — это 10 миллиардов.

Получается, мы возводим 10 в степень 10 миллиардов, то есть получаем 1 с 10 миллиардами нулей.

Я написал это предложение и сам себе не поверил, поэтому перепроверил. Да, действительно: 1 и 10 миллиардов нулей.

Чтобы прочувствовать масштаб:

Общее число атомов в наблюдаемой Вселенной примерно равно 10;; (единица с 80 нулями). Учёные используют это число, когда хотят сказать: «Это практически всё, что существует».

Третья тетрация от 10 — это единица с 10 миллиардами нулей. Не 80, а десять миллиардов.

Представьте, что вы решили всю жизнь записывать нули — каждую секунду каждого дня. Вы умрёте. Ваши дети умрут. Пройдут поколения. Солнце исчерпает свой ресурс — а вы всё ещё не закончите.

Такое число просто не помещается во Вселенной. Оно выходит за пределы любого осмысления — язык начинает ломаться на этом уровне.

И это всего лишь ;10 — скромная на вид запись с маленькой тройкой слева.

Выше тетрации идёт пентация, за ней — гексация. Каждый следующий уровень делает с предыдущим то же, что тетрация делает со степенями. Лестница уходит всё выше, и никто не обсуждает верхние ступеньки — потому что числа там теряют всякий смысл для человеческого разума.

Почему же мы не изучаем это в школе?
Я размышлял об этом дольше, чем следовало. Практический ответ прост: у таких чисел почти нет применения в реальном мире. Вы никогда не измерите что-либо с их помощью; ни одно уравнение в физике не требует их. Они слишком велики, чтобы быть полезными в обычном смысле.

Но вот что меня задевает: в школе мы учим массу вещей, которые тоже не применяются на практике. Когда я в последний раз пользовался формулой косинуса? Я знаю, что такое герундий, но ни разу не понадобилось это знание во взрослой жизни.

Тем не менее, мы их учим. Потому что образование — это не только утилитарность. Оно должно расширять горизонты, показывать, что мир куда больше и страннее, чем кажется в повседневной рутине.

Тетрация — именно такой пример. Это окно в то, как быстро математика уходит за пределы человеческой интуиции. Эти числа реальны: они не абстрактны, не хаотичны — они подчиняются строгим правилам, с ними можно работать, сравнивать, анализировать. Они просто представляют структуру в масштабах, которые наш мозг не способен вообразить.

Есть в этом что-то философское: числа, которые существуют, но которые невозможно записать — не потому, что мы не придумали способ, а потому, что Вселенная физически мала, чтобы вместить все их цифры.

Я всё вспоминаю тот скриншот, который отправил Роману. Два человека с техническим образованием, и стандартное математическое обозначение оказалось для нас совершенно чужим. Это не какая-то ультрасовременная наука — устоявшийся термин, существующий с начала XX века.

Я не считаю, что мы провалились. Просто нам показали лишь первые ступеньки лестницы, а потом решили, что этого достаточно.

Возможно, для большинства задач этого и правда хватает.

Но жаль, что никто хотя бы не указал наверх и не сказал: «Лестница продолжается, и то, что там, буквально взорвёт вам мозг».

Хотите проверить себя? Посчитайте ;2 — это достаточно маленькое число, чтобы вычислить вручную. Потом попробуйте ;2 — с этим тоже можно справиться. Затем задумайтесь, что потребуется для вычисления ;2.