Алгебра множеств. Автобиография

 ЧЕРНОВИК
Современный способ изучения математики.

Глава 1.

    Галуа. Галуа. Галуа....
За ночь перед дуэлью 17-летний мальчишка написал несколько страниц и погиб на дуэли, стреляясь за честь проститутки . И эти страницы пролежали много лет,  прежде чем математики поняли о чем он писал и какой прорыв в математике совершил.
   Я не совершаю прорыва в математике. Я , надеюсь лишь, что смогу внести свой небольшой вклад в преподавании математики и в понимании, например, хорош учебник по математике начальной школы или плох .
После окончания 8-го класса, я перешла учиться в другую школу, где  был набор в математический класс.  От природы я была гуманитарием , даже сочинение в выпускном классе написала стихами про Тараса Бульбу.   Но  на повестке дня были физики-лирики. Вот  я  и пошла штурмовать сложную науку, математику. Я училась в математическом классе  Сергея Годунова , члена корреспондента Академии наук. Наш класс был у него первым и последним. Мы  ходили в его отдел прикладной математики в институт прикладной математики им. Стеклова, а некоторые потом там и работали. Мы видели первую в СССР вычислительную машину: шкафы с лампами, занимающую площадь спортивного школьного зала, которая говорила  в нужном месте: "Человек, на ноль делить нельзя!"
Затем я училась в МГУ им. Ломоносова на факультете  МЕХ-МАТ по специальности "Теории вероятности".
Проучилась, я в математическом классе три года, тогда в СССР прибавили одиннадцатый класс.
Но следующему году отменили и после окончания школы экзамены в  ВУЗы сдавали сразу два выпуска. В этом был  большой минус. И прежде чем поступить в МГУ, я проучилась три года в Плехановском институте.
Поступить туда было тоже трудно и был огромный конкурс.

Но как время потом показало был и плюс: Начальная школа была сильной и трехлетней: в первом классе вводилась переменная "Х", решали уравнения, учились раскрывать скобки. На среднюю приходилось 5-ть лет. И на старшие классы три года! В программе появилось много нового, например, бином Ньютона. Кстати, Пушкин тоже изучал бином Ньютона.

 Годунов привнес в изучении  математики много нового, своего , как ему казалось интересного.  Того, что я потом не изучала  даже в университете.Наш математический класс таял день ото дня. Выдерживали не все. Было 42 человека, потом 16... За то лучшие из нас поступили в Университет без экзаменов, например, на физ-фаг, по личному распоряжению министра образования за вклад в науку...

Я была ошарашена  с первого взгляда и с первого урока . На перемене невысокий человек ходил по коридору. Он совсем не был похож на учителя и тем более на профессора. Так просто был одет и  просто держался. К нам он всегда приходил со своими ассистентами. И когда  отчаивался что либо нам объяснить, за дело принимались они.   Никто ничего , как мне казалось, не понимал.  Прочитать про это было негде. А уходя  Константин Сергеевич, складывал в сетку для продуктов для проверки наши общие тетради и углы их торчали из сетки. Тетради очень тщательно проверялись. замечания были исписаны аккуратным подчерком, красной ручкой....
 И двойки, двойки, двойки...  Работы над ошибками были обязательны, как и работы над ошибками работ над ошибками ....Двойками он одаривал всех. "А Новиковой опять два" , с улыбкой говорил  его ассистент, длинный и худой молодой человек, хлопая не ладонями, а кулачками...
Таким он мне часто и снился.... В итоге я получала свою твердую четверку. Так как
все решали коллоквиумы, на которых сидя между "двумя учеными мужами" решаешь задачи типа : опустить перпендикуляр на подпространство.... Когда, я однажды подошла  к Сергею Константиновичу с вопросами, он сказал: " Девушка, я не понимаю о чем вы спрашиваете. Значит  из вас выйдет замечательный преподаватель математики. Вы будете понимать всех своих учеников."
   Позже мне практика показала, что были ученики, которые приходили  ко мне в класс из обычных школ и сразу схватывали все: и язык современной математики, и алгебру множеств, которые многим давались  не так то и легко. Но таких с "вставленным математическим чипом" очень немного, единицы.
Когда я читала лекции в МАИ, из большой аудитории только трое понимали и кратко записывали содержание. Половина все записывала, ничего не понимая,  а другие даже записывать не успевали.
  Учась в университете я сравнивала  лекции  Годунова про дифуры, которые он периодически читал в МГУ, с лекциями из учебников или с лекциями  других преподавателей. Было впечатление, что все авторы пишут про разные разделы математики. Читали лекции особенно на старших курсах действующие ученые. И как правило они их читали раз в пять лет. Остальные четыре года  занимались  наукой в своих профильных лабораториях.
  В университете в группе тоже не все выдерживали, не все могли даже на 7-ой раз пересдать экзамен и вылетали. Но были и удивительные случаи. Один мой однокурсник, успевал работать , помогал нам с курсовыми, женился, родил двойняшек, делал ремонт в квартире...Самородок.
Другие такие же с третьего курса уже были лаборантами в профильных лабораториях своих преподавателей и после диплома уже были готовы защищать диссертации.
Кстати, много учеников из математического интерната им. Колмогорова при университете вылетали по причине, что на первых двух курсах им было скучно, они уже эту программу  знали, а потом уже не могли вписаться в учебный процесс, безнадежно отставали.  Я тоже однажды оказалась на краю. Надо было сдавать курсовую по теоретической физике. Мне досталась огромная формула, которую лектор  еле поместил на огромной доске в аудитории для лекций, со многими переменными. Мне надо было исследовать эту формулу при изменении одной из переменных. Нигде , ни в каком учебнике, этого не было.  Я билась, но безрезультатно. И.... вдруг мне подсознание выдало необходимое исследование  во сне! Это было так ярко, что я  четко все помнила проснувшись.

Глава 2.

Когда, я из-за любопытства перешла  работать в школу , там было работать продуктивней и интересней, я тоже брала общие тетради на проверку у детей, но вместо двоек ставила пятерки, при условии, что они сделают работу над ошибками. Проверяя работу над ошибками, снова ставила пятерку. И так до тех пор, пока работа действительно не была сделана на пять.
  Были 90-ые годы. Ужасные для России. Но для творческих преподавателей была свобода в изложении и в подаче материала. Письменные отчеты о проведенных уроках
требовались не строго, по крайней мере с меня.
 На уроки приходили с проверкой методисты. Спрашивали : "Почему у  ученика 5, 5, 5, 5....а за контрольные  тройки? Я отвечала : пятерки - это за работу, а тройки за знания , которые они сумели показать за 45 минут. Я не подтасовывала результаты, как это делали многие из учителей. Методисты сбивались с толку  этими действиями учителей и иногда выдавали такой объем для контрольной работы, который был не по силам ученикам.
Оценка за контрольную - это оценка и ученику , и учителю, и методисту.
"Вы произнесли слово "множество" на уроке!".... Математическое понятие множества ничем не отличается от бытового - мой ответ.  "Множество" было запрещенным понятием в школьной математике тех лет, и что удивительно, запрещено и теперь.
  Количество переходит в качество, если ученик трудиться. А мои ученики любили трудиться. Даже во время болезни они не бездельничали и приносили свои общие тетради для проверки! Я ставила  пятерку в журнал и уносила их домой для проверки.
  Я добилась того, что ученики не боялись ошибаться ни в тетрадях, ни у доски.
А я  не забывала повторять  :" Ошибаются и президенты. "
  К доске, я практически не вызывала, а если вызывала, то не ставила оценок.
Учебный процесс я разбила на лекции и практические занятия.
На лекциях я была строга и за каждую вольность ставила колы, чтобы в конце четверти переправить на четверки А на практических занятиях ребятам разрешалось перемещаться по классу.
 Конечно дети разные по способностям. Поэтому я рассадила их по рядам.
В первом ряду у окна ученики занимались самостоятельно,  решая из учебника все подряд, в том числе самостоятельно осваивая новые темы. Работали они на разных скоростях и в разных разделах учебника.
 Во втором ряду , ребятам я давала задание для работы и в классе, и  дома. А новый материал для всего ряда раскладывала на доске.
  В третьем ряду  у двери , ученикам было задание разобрать и понять хотя бы одну задачу или пример за урок. Домашних заданий им не давала.
 Ходила я во время практических занятий по первому ряду, отвечая на вопросы .
Второй ряд должен был спрашивать у ребят первого ряда, а третий ряд задавал вопросы ребятам второго ряда. Спрашивать и отвечать - один из самых важных
 в процессе изучения и понимания математики.

 Почему я так делала? Потому, чтобы первый ряд не обижался на четверки и  ценил свою четверку выше четверки  ученика третьего ряда.
Это была работа на износ, но очень интересная для меня и для учеников.
Сразу скажу, что мой 4-ый класс , отобранный как бесперспективный еще на уровне формирования, весь закончил 9-ый без троек по математике!
Родители ребят третьего ряда возмущались: Я согласна, что нет домашних заданий, но  требую, чтобы мой сын сидел в первом ряду.
 Я отвечала, что тогда у него будут одни двойки и ему будет не интересно учиться и я не смогу заниматься с ним индивидуально и вытащить его из двоек.
  С третьим, слабым рядом я начинала работать с капли. Потом с двух каплей. И так увеличивая дозу "лекарства", выводила их на интерес, а значит на успехи.
 По геометрии я работала с учениками по другому принципу : у доски решение задач и теорию проговаривала у доски только сама, опрашивала по очереди каждого на практических занятиях индивидуально, присаживаясь к нему за парту.
За то на устном экзамене, комиссия удивлялась тому, как грамотно ребята излагают материал.Они просто других вариантов и не слышали!

Конечно, так преподаватель не сможет долго  и бесплатно работать.
В Англии эта проблема решалась, таким образом: класс разбивался по желанию учеников по полам. Одной половине вели математику по простой программе, другой на высоком уровне. Другое дело, что методически и там, и там математика подавалась намного хуже , чем в СССР,
Проверка тетрадей с 6-го класса в те времена уже не оплачивалась, а я проверяла тетради даже у одиннадцатиклассников. Вообще в школе в те времена хуже всего оплачивался труд учителей русского и математики. Они получали столько же, сколько  и   учитель труда, который не проверял тетради,  у него не было контрольных и экзаменов, у него не было столько проверок и он работал не со всем классом, а с половиной!
  Раньше перед экзаменами, детей предупреждали, чтобы они закупали одни и те же
ручки, чтобы учитель мог исправить или дописать работу ученика . Кому до тройки, кому до пятерки.
 С этой точки зрения ЕГЭ  искоренил эту практику, но узаконил уничтожение математики, так как учителя должны натаскивать детей на задачки учебника, очень низкого уровня.  Родители все равно нанимают преподавателей, которые не могут отступить ни на шаг от учебника и таким образом произошло второе преступление: был уничтожен пласт гениальных преподавателей математики, которые готовили детей к экзаменам  в ВУЗы, разрабатывали новые интересные задачи и еще более оригинальные методы их решения.  Могли научить ребят решать сложные задачи, например, с параметрами простыми, но эффективными графическими методами.

 Глава 3.

Практика показала, что в математике есть такие понятия, которые не возможно усвоить и за месяц и за год, а есть те,  которые усваиваются учеником за урок.
И если обратиться к истории математики, то оказывается, что "трудные" понятия
человечество осваивало тоже тяжело и даже не одну сотню лет.
Например, понятие числа. 7 000 лет человечество переходило к понятию числа от конкретной совокупности. Например: 5 стрел - "5". 12 овец - "12"....
И  этот процесс заложен в мозг человека. Точно так же как умение ходить .
  Пока в определенном разделе мозга не сформируется "извилина", маленький ребенок
не пойдет. Так и с понятием числа  ребенок вначале может считать конкретные совокупности:   одна конфетка плюс одна конфетка будет две конфетки. Но 1+1=2  ему не доступно.
  Второй пример : таблица умножения. 500 лет она формировалась. До таблицы умножения любой, кто умел "работать" с большими числами, считался ученым.
  Поэтому - изучению таблицы в начальной школе должно быть уделено очень много времени.. 5-ть минут вначале урока  таблица должна  повторяться. Должны быть в учебнике не простыни текстовых задач, а столбики с примерами и со скобками!. Если не сформируется эта , как я ее называю, "болевая точка", изучение алгебры будет проблематичным, хоть ребенок  в начальной школе и прорешает тысячу текстовых задач. Поэтому и калькулятором  пользоваться категорически запрещено.
Им можно пользоваться на уроках физики, химии.
  У меня в практике был случай, моя внучка занималась фигурным катанием и она могла выделить на изучение русского языка два часа в неделю с домашним заданием, на английский 3-часа с домашним заданием, а математику я с ней изучала один урок в неделю без домашних заданий. На другие предметы времени не было.
  Когда ей пришлось бросить спорт и перейти в школу, она пошла в марте в 7-ой класс   школы с английским уклоном.  А там была последняя четверть, в конце которой   годовые контрольные работы, по итогам которых она стала отличницей.
 Вопрос с географией и с биологией был решен за две недели: одну  неделю по 5-ть часов  в день она занималась с вузовским учителем по биологии . Вторую неделю  5-ть часов в день с вузовским преподавателем по географии.  Секрет заключался в том, что она изучала эти предметы не по школьным методикам и в материале не надо было массировать "болевые точки". Но по деньгам это было дорого.
  Как я давала ей уроки математики? Я "массировала" ей так называемые  "болевые точки" : таблицу умножения, счет, законы арифметики, алгебру множеств и все излагала на языке современной математики. Текстовых задач я не давала! Просто не было времени. Позже я  ей дала  все типы текстовых задач за полгода в 8-ом классе! Как потом я узнала, что у ее одноклассников ахиллесовой пятой было РЕШЕНИЕ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ! Это доказывает, что крен в решении огромного числа текстовых задач в начальной школе - ПРЕСТУПЕН.
Язык современной математики классифицирует, раскладывает материал по полочкам,
экономит массу времени и, что важно, готовит ученика к более легкому восприятию разделов высшей математики. А массирование "болевых точек" , дает рождение множеству других опорных точек, необходимых для изучения математики, в том числе решению текстовых задач!
  Когда я перешла в школу, воспользовалась своим опытом и этим в том числе.
Кстати в 6-ом классе ко мне в класс пришла девочка из Латинской Америки.
В ее учебнике были примеры по алгебре множеств! И это 90-ые годы!
А у нас с чего началась реформа математики в начальной школе? Таблицу умножения не учат, столбиков на счет практически нет в задачниках, одни простыни с текстовыми задачами, не корректными и однотипными.





Кстати, сейчас на Кипре дети в первом классе знакомятся с дробями, как и у нас в музыкальных школах, и могут в 4-ре года написать свое имя.
А у нас в детском саду из-за перегруженности воспитателей запретили готовить детей к школе. А из-за беспечности мам дети идут в школу на год позже и 4-ре года
изучают не математику, а дурную методику то ли математики, то ли пустых для мозга упражнений . И к средней  школе ученики приходят не подготовленными.
Надо , чтобы учебники для начальной школы  писали методисты средней , а не начальной!!!
Кстати, рано или поздно встанет проблема  перевода учителей на язык современной математики.
 Какие лекции я читала ученикам? Что 5-го, что 7-го , что 9-го математического классов, что на подготовительных курсах в ВУЗе.
  В начале несколько раз , я повторяла одну и ту же : пересказывала арифметику на современном языке математики. Это кажется простым делом. Ничего сложного нет. Но есть психологическая преграда! Некоторые продвинутые методисты считают, что если не ознакомить учеников с алгеброй множеств и современным языком математики до 12 лет, то для многих  многие разделы математики и сам язык так и останется недоступным.
  Что давал мне этот язык? Упрощал преподавание и открывал возможности
экономить время и даже давать школьникам примеры из разделов  высшей математики, оценивать учебники на профпригодность. Современная жизнь требует изучения все большего разнообразного материала и эффективное использование времени на изучение математики просто необходимо.

Глава 4.

 После первой лекции ко мне подходили родители с возражениями, дескать, я закончила Бауманский  , этого не знаю и детям этого не надо знать. Но я тогда приводила им на вскидку  пример и просила решить его:

1-1+1-1+1-1+1-1....

Напрашивается ответ 0. Но родитель, ища подвох , молчал...
А ваш ребенок, говорила я,  не  должен молчать , а  должен спросить : Из какой
 этот пример математической модели и каковы законы этой модели?
Суммы у этого бесконечного ряда нет, так как законы арифметики, то есть скобки, для них не работают!

 Математика как одеяло из лоскутков сшито из разных математических моделей, которые возникали не абстрактно, а из потребностей человеческой деятельности, иногда опережая ее, иногда отставая. Элементы, операции и законы у этих моделей отличались. Но основы каждой модели, ее освоение базируется на изучении элементов, операций, законов.  Почему я эти лоскутки ( разделы) называла моделями?
По аналогии  , например,  с моделями самолетов. Что понятно пятиклассникам.
У моделей самолетов есть что-то общее и есть отличия.

Общее: наличия мотора, фюзеляжа, крыльев. Велико их разнообразие.

И различаются модели, например, по применению, самолеты бывают военными, пассажирскими, грузовыми, спортивными, беспилотными, космическими...
 Так и у математических моделей есть что-то общее: каждая модель начинается с изучения элементов, операций, законов.
А основное различие в применении.

  Удивительным образом, изучая арифметику по современной методике, которая хуже церковно приходской, в итоге ученики пятого класса, не могут ответить на вопрос, который должен отлетать у них от зубов: что такое натуральное число, какие операции изучает арифметика и каковы законы арифметики. И если работа со скобкам в школе СССР начиналась с первого класса, то теперь с этой "ерундой" и возиться не обязательно.
 Есть еще вопросы и обозначений. Например, как в математике обозначается натуральное число, множество натуральных чисел и т.д....
Это тоже ученикам пятого класса неведомо.

Продолжение следует