Решим систему уравнений

Решаем систему, состоящую из двух фундаментальных уравнений квантовой механики. Это не система в обычном алгебраическом смысле, а две глубоко связанные формы описания динамики квантовой системы.

Давайте разберемся, что означает "решить" эту систему, и как эти уравнения соотносятся друг с другом.

1. Уравнения

1. Уравнение Шредингера описывает, как состояние квантовой системы (ее волновая функция |;(t)>) эволюционирует во времени:
i; ;/;t |;(t)> = ; |;(t)>

Где:

· i — мнимая единица,
· ; — постоянная Дирака (редуцированная постоянная Планка),
· ;/;t |;(t)> — производная волновой функции по времени,
· ; — гамильтониан системы (оператор полной энергии).

2. Уравнение Гейзенберга описывает, как операторы физических величин (наблюдаемых) эволюционируют во времени:
d;_H(t)/dt = (i;);; [;_H(t), ;] + (;;/;t)_H

Где:

· ;_H(t) — оператор в представлении Гейзенберга (зависящий от времени),
· [ , ] — коммутатор ([A, B] = AB - BA),
· (;;/;t)_H — явная зависимость оператора от времени (если она есть).

2. "Решение" системы и связь между уравнениями

Эти два уравнения эквивалентны. Они описывают одну и ту же физику, но с разных точек зрения.

· Представление Шредингера: Состояния |;(t)> зависят от времени, а операторы ; (кроме гамильтониана ;) обычно не зависят.
· Представление Гейзенберга: Состояния |;_H> фиксированы (не зависят от времени), а вся временная эволюция "переложена" на операторы ;_H(t).

Связь между ними задается унитарным преобразованием:
;_H(t) = U;(t) ;_S U(t)
|;_H> = U;(t) |;_S(t)>
гдеU(t) = exp(-i;t/;) — оператор эволюции во времени.

Таким образом, "решить систему" — значит найти такие |;(t)> и ;_H(t), которые удовлетворяют обоим уравнениям при заданном гамильтониане ;.

3. Общий план решения для конкретной системы

Чтобы получить конкретное решение, нужно задать гамильтониан системы ; (например, для свободной частицы, гармонического осциллятора или атома водорода).

Шаг 1: Решить уравнение Шредингера для состояний

1. Находим стационарные состояния (собственные состояния гамильтониана):
   ; |;_n> = E_n |;_n>
   Это уравнение на собственные значения. Получаем набор энергий E_n и волновых функций |;_n>.
2. Общее решение уравнения Шредингера:
   |;(t)> = ;_n c_n exp(-iE_n t / ;) |;_n>,
   где c_n — константы, определяемые из начального условия |;(0)>.

Шаг 2: Решить уравнение Гейзенберга для операторов

1. Для оператора координаты x; и импульса p; (в системе без явной зависимости от времени) уравнение Гейзенберга принимает вид:
   dx;_H/dt = (i;);; [x;_H, ;]
   dp;_H/dt = (i;);; [p;_H, ;]
2. Нужно вычислить коммутаторы с конкретным ;.
3. Решить получившуюся систему операторных уравнений.

4. Пример: Свободная частица (масса m)

Гамильтониан: ; = p;; / (2m)

Решение в представлении Шредингера:

· Стационарное уравнение: (p;;/(2m)) |;> = E |;>.
· В координатном представлении: - (;;/(2m)) ;; ;(r) = E ;(r).
· Решение — плоские волны: ;_k(r) ; exp(ik·r), с энергией E_k = (;;k;)/(2m).
· Общее состояние: ;(r, t) = ; c(k) exp(i(k·r - ;_k t)) dk, где ;_k = E_k/;.

Решение в представлении Гейзенберга:

Для операторов x; и p;:

1. dp;_H/dt = (i;);; [p;_H, p;;/(2m)] = 0 ; p;_H(t) = p;(0) = const (импульс сохраняется).
2. dx;_H/dt = (i;);; [x;_H, p;;/(2m)]. Используем [x;, p;;] = 2i; p;.
   Получаем: dx;_H/dt = p;_H(0) / m.
3. Интегрируем: x;_H(t) = x;_H(0) + (p;_H(0)/m) t.

Это — квантовый аналог классических уравнений движения для свободной частицы, но теперь x;_H(t) и p;_H(0) — это операторы, подчиняющиеся коммутационному соотношению [x;_H(t), p;_H(t)] = i;.

Итог

1. Уравнения Шредингера и Гейзенберга — это две стороны одной медали. Они эквивалентны и связаны унитарным преобразованием.
2. Чтобы получить конкретное решение, необходимо задать гамильтониан системы ;.
3. Схема решения:
   · Найти собственные состояния и энергии из стационарного уравнения Шредингера.
   · Построить общую временную эволюцию состояния.
   · Используя коммутационные соотношения и уравнение Гейзенберга, найти явный вид операторов как функций времени.

Таким образом, "решение" этой системы уравнений — это не получение набора чисел, а построение полной динамической картины квантовой системы, включающей эволюцию как состояний, так и измеримых величин, делов то.