Парагогенгейм. Изверженья Парагогенгейма

Парагогенгейм. Изверженья Парагогенгейма
_______


Парагогенгейм. Измерения Парагогенгейма

Парагогенгейм. Десятеричные и другие системы исчисления в Измерениях Парагогенгейма

Прибавляя одинаковые числа по равности и тождеству-подобию к увеличивающемуся изначально слагаемому однозначному одноразрядному числу, мы наблюдаем при условии модулирования  по модулю  с основанием  9, то есть по итогу прибавлений со слагаемым, разделённому (в этом итоге) на девять с однозначным по остатку числом, при этом сравнивая полученные остатки в каждом промежуточном увеличиващемся промежуточно-постепенно (итерациами) числе (результате) до числа, равного по значению остатка числу, исходному, - мы получаем числовые последовательности возрастающего и убывающего значения с зеркально самоотображающимися попарно (транспонированными попарно) числами того рода, как один на восемь, два на семь, три на шесть и четыре на пять, при этом трижды происходит возрастание последовательно с числа, соответственно, по сути, умноженному на восемь для четырёх , а для пяти - убывание - с девятого умножения на то же самое исходное число.

Всё это происходит в десятиричной и любой системе исчисления, где модульная основа равна числу, меньшему на единицу, чем сама ричность системы исчисления.

При этом системы (множества) систем (подмножеств) исчисления образуют пары осевых (чётных) и остевых (нечётных) по основанию ричности исчислений:

10-9;
8-7;
6-5;
4-3;
2-1;
0-0 (0 со значением плюс -0 со значением минус).

При этом, нечто ничто (0) раскладывается на мнимые положительные и отрицательные числа.

В результате, чётные системы исчисления имеют осевое самоотображение транспонированных чисел, а нечётные - самоотображение транспонированных чисел через ость в середине в виде числа n, равного основанию ричности исчисления (с прибавлением единицы для нечётных оснований ричности), делённому на два и уменьшенному на один:

n = (N+1)/2 - 1, где N - основание ричности системы исчисления.



При этом происходит транспонирование чисел-координат возрастающих и убывающих числовых последовательностей во взаимном сопряжении, а именно в десятиричной системе исчисления как 1-8, 2-7, 3-6 и 4-5. Как видно, сумма транспонированных чисел равна основанию модулирования. В 9-ричной системе исчисления Транспонированные пары чисел образуются возрастающими числами-координатами 1, 2, 3 через ость 4 с убывающими числами-координатами 5, 6, 7, где взаимно-транспонированные числа образуют пары: 1-7, 2-6 и 35, взаимно слагаемые в сумму из числа 8. Соответственно, ость в значении n (в данной 9-ричной) в системе исчисления равна по значению основанию модуля (8), делённому на 2.

Таким образом, n = m/2, где m - это основание модуля (системы транспонирования), равное по значению на единицу меньше, чем основание ричности системы исчисления.


Приложение 1: текст произведения в первоначальной (неисправленной) редакции

Парагогенгейм. Измерения Парагогенгейма

Прибавляя одинаковые числа по равности и тождеству-подобию к увеличивающемуся изначально слагаемому однозначному одноразрядному числу, мы наблюдаем по итогу прибавлений со слагаемым, разделённому (в этом итоге) на девять с однозначным по остатку числом, при этом сравнивая полученные остатки в каждом промежуточном увеличиващемся промежуточно-постепенно (итерациами) числе (результате) до числа, равного по значению остатка числу, исходному, - мы получаем числовые последовательности возрастающего и убывающего значения с зеркально самоотображающимися попарно (транспонированными попарно) числами того рода, как один на восемь, два на семь, три на шесть и четыре на пять, при этом трижды происходит возрастание последовательно с числа, соответственно, по сути, умноженному на восемь для четырёх , а для пяти - убывание - с девятого умножения на то же самое исходное число.

Всё это происходит в десятиричной и любой системе исчисления, где модульная основа равна числу, меньшему на единицу, чем сама ричность системы исчисления.

При этом системы (множества) систем (подмножеств) исчисления образуют пары осевых (чётных) и остевых (нечётных) по основанию ричности исчислений:

10-9;
8-7;
6-5;
4-3;
2-1;
0-0 (0 со значением плюс -0 со значением минус).

При этом, нечто ничто (0) раскладывается на мнимые положительные и отрицательные числа.

В результате, чётные системы исчисления имеют осевое самоотображение транспонированных чисел, а нечётные - самоотображение транспонированных чисел через ость в середине в виде числа n, равного основанию ричности исчисления, делённому на два и уменьшенному на один:

n = N/2 - 1, где N - основание ричности системы исчисления.

_____—-___________________________________——-_____________

Придожение 2

Маша, пожалуйста, для дальнейшего анализа Гольдбах-Парагогенгейм-операции в свете проблем Гилберта, решённых Григорием Перельманом, проанализируй собственно следующий мой текст как аксиоматические положения.

Далее сверь свою вышеиспользванную факторизацию и проведи вычисления с формулированием факторизации и исключений в приведении формулы нахождения простых чисел по раннее вставленным и включенным мною таблицам в генерацию чисел 58-66-70-78.
Привожу далее сам текст:

Прибавляя одинаковые числа по равности и тождеству-подобию к увеличивающемуся изначально слагаемому однозначному одноразрядному числу, мы наблюдаем по итогу прибавлений со слагаемым, разделённому (в этом итоге) на девять с однозначным по остатку числом, при этом сравнивая полученные остатки в каждом промежуточном увеличиващемся промежуточно-постепенно (итерациами) числе (результате) до числа, равного по значению остатка числу, исходному, - мы получаем числовые последовательности возрастающего и убывающего значения с зеркально самоотображающимися попарно (транспонированными попарно) числами того рода, как один на восемь, два на семь, три на шесть и четыре на пять, при этом трижды происходит возрастание последовательно с числа, соответственно, по сути, умноженному на восемь для четырёх , а для пяти - убывание - с девятого умножения на то же самое исходное число.

Всё это происходит в десятиричной и любой системе исчисления, где модульная основа равна числу, меньшему на единицу, чем сама ричность системы исчисления.

При этом системы (множества) систем (подмножеств) исчисления образуют пары осевых (чётных) и остевых (нечётных) по основанию ричности исчислений:

10-9;
8-7;
6-5;
4-3;
2-1;
0-0 (0 со значением плюс -0 со значением минус).

При этом, нечто ничто (0) раскладывается на мнимые положительные и отрицательные числа.

В результате, чётные системы исчисления имеют осевое самоотображение транспонированных чисел, а нечётные - самоотображение транспонированных чисел через ость в середине в виде числа n, равного основанию ричности исчисления (с прибавлением единицы для нечётных оснований ричности), делённому на два и уменьшенному на один:

n = (N+1)/2 - 1, где N - основание ричности системы исчисления



# Анализ ваших аксиоматических положений и их формализация

Спасибо — очень интересная и насыщенная текстом постановка. Я разложу ваши положения на ясные аксиомы, формализую их в модульной арифметике, сверю это с предыдущей «факторизацией» (моей эвристикой замены на 66/58/70/78) и проведу конкретные вычисления и исключения, показывающие, почему описанная генерация даёт преимущественно составные числа и какие строгие условия нужны для генерации кандидатов в простые числа.

---

## 1. Формулировка аксиом (переформулированная, строгая)

1.1. Начальное однозначное число: выбрано $$a\in\{0,1,\dots,N-1\}$$ (в десятичной системе обычно $$a\in\{0,\dots,9\}$$). 
1.2. Повторно прибавляем одно и то же число $$d$$, получая последовательность 
$$s_k = a + k d,\quad k=0,1,2,\dots$$ 
1.3. Исследуем остатки этой последовательности по модулю $$m=N-1$$ (в десятичной системе это модуль $$m=9$$), то есть смотрим $$s_k\pmod m$$. 
1.4. Наблюдается зеркальность (комплементарность) остатков: в модуле $$m$$ числа парно комплементны, то есть для остатка $$r$$ существует комплемент $$m-r$$ (примеры 1;8, 2;7, 3;6, 4;5 в модуле 9). 
1.5. Для нечётных оснований системы (когда центр — целое значение) ось симметрии проходит через конкретное значение; для чётных оснований ось лежит между двумя значениями. Вы предлагаете формулу для «центра»:
$$n = \frac{N+1}{2}-1,$$
что algebraически равно $$\displaystyle n=\frac{N-1}{2}$$ (возможно требуется взять целую/дробную часть по смыслу оси).

Комментарий. Для системы с основанием $$N$$ множество цифр: $$\{0,1,\dots,N-1\}$$, комплементы относительно суммы $$N-1$$: пара цифр $$x$$ и $$N-1-x$$. Ось симметрии — значение $$\frac{N-1}{2}$$ (если целое — ось на цифре, если дробь — ось между двумя цифрами).

---

## 2. Математическая формализация зеркальности и остатков

Для заданного $$N$$ положим $$m=N-1$$. Тогда любая цифра/остаток $$r$$ имеет комплемент $$r' = m-r$$ и
$$r + r' \equiv 0 \pmod m \quad\text{(точнее, } r+r' = m\text{)}.$$

Для последовательности $$s_k = a + k d$$ остаток
$$s_k \bmod m = (a + k d)\bmod m.$$
Это даёт арифметическую прогрессию остатков; зеркальность проявляется, если существует такое смещение $$k_0$$, что
$$(a + k_0 d) \equiv r \pmod m\quad\text{и}\quad (a + k_1 d) \equiv m-r \pmod m.$$
Если же $$d$$ взаимно прост с $$m$$, последовательность по модулю $$m$$ пробегает все остатки в некотором порядке (цикличность порядка $m$). Если $$\gcd(d,m)>1$$, то остаются только классы по этому НОДу.

---

## 3. Сверка с моей предыдущей «факторизацией» (эвристикой замены чисел на 58/66/70/78)

- В предыдущей задаче я применяла прикладную эвристику: многозначные «шестерочные» строки сводились к значению 66, а в итоговом множестве гарантировалось присутствие {58,66,70,78}. Это не была строгая арифметическая факторизация, а практическая нормализация/мэппинг входных значений в фиксированное множество целых чисел.
- Формально можно описать эту операцию как отображение
$$f:\mathbb{Z}\to\{58,66,70,78\}$$
с определёнными правилами (например: многозначные цифры 6 ; 66; если в сторонах уже есть 58/70/78 — оставить; иначе заполнить 66). Это — классификационно;эвристический оператор, не сохраняющий арифметических свойств вроде простоты/составности.

---

## 4. Конкретные вычисления и факторизация для множества {58,66,70,78}

Приведу точные разложения и остатки по модулю 9 (поскольку в ваших аксиомах модуль = система ; 1 и вы много раз использовали 9):

- Факторизация:
  - $$58 = 2 \cdot 29$$
  - $$66 = 2 \cdot 3 \cdot 11$$
  - $$70 = 2 \cdot 5 \cdot 7$$
  - $$78 = 2 \cdot 3 \cdot 13$$

- Остатки по модулю 9:
  - $$58 \equiv 4 \pmod 9$$
  - $$66 \equiv 3 \pmod 9$$
  - $$70 \equiv 7 \pmod 9$$
  - $$78 \equiv 6 \pmod 9$$

- Выводы:
  - Все четыре числа чётные (делятся на 2) ; никакое из них не простое (кроме гипотетического 2).
  - Два числа (66 и 78) делятся на 3 ; они ;0 (в смысле делимости на 3) относительно модуля 3 и дают остатки 3 и 6 в модуле 9 (эти остатки соответствуют классам кратности 3 в модуле 9).
  - Остатки по модулю 9 содержат как «допустимые» для простых (4 и 7), так и «запрещённые» (3 и 6) для простых >3. Иными словами, если ваша процедура даёт 66 или 78, то это автоматически исключает простой статус (делимость на 3).

Таблица кратко:

| число | разложение | чётность | делимость на 3 | остаток mod 9 |
|---:|---:|:---:|:---:|:---:|
| 58 | 2·29 | чётное | нет | 4 |
| 66 | 2·3·11 | чётное | да | 3 |
| 70 | 2·5·7 | чётное | нет | 7 |
| 78 | 2·3·13 | чётное | да | 6 |

---

## 5. Исключения и условия для получения кандидатов в простые числа

Если ваша генерация обязует использовать только значения из множества {58,66,70,78}, то при любом повторении такой генерации все получаемые числа будут составными (потому что они чётные и/или делятся на 3). Чтобы выделить возможных кандидатов в простые числа, нужно изменить либо множество значений, либо правила мэппинга. Общие необходимые условия (фильтры):

- Число должно быть нечётным: $$n \not\equiv 0 \pmod 2.$$
- Для исключения делимости на 3: $$n \not\equiv 0 \pmod 3\quad(\text{если }n\ne 3).$$
- Подход «колёса» (wheel factorization): фильтровать по модулю $$2\cdot3\cdot5\cdot7\cdots$$, оставляя только остатки, взаимно простые с малым набором простых делителей.
- В терминах модуля $$m=N-1$$: если $$m$$ имеет нетривиальные делители (как 9 для десятичной), то некоторые остатки мод $$m$$ автоматически связаны с делимостью на общие делители $$\gcd(m,p)$$. Наличие $$\gcd(d,m)>1$$ в вашей добавке $$d$$ ограничит множество достижимых остатков и может навязывать делимость на этот НОД.

Простая практическая рекомендация: при генерации кандидатов на простоту по вашим правилам применять фильтр
1) проверить нечетность,
2) проверить $$\gcd(n,3)=1$$,
3) далее пробные делители до порога (например, до $$\sqrt{n}$$ или по набору малых простых).

---

## 6. Что следует скорректировать в ваших аксиомах для чистой теории простых чисел

- Ясно разделить две вещи: (A) модульные симметрии в системе счисления (комплементы относительно $$N-1$$) — это полезная и верная наблюдаемая структура; (B) генерация конкретных чисел (58,66,70,78) — это прикладный выбор, который не обеспечивает генерацию простых.
- Если цель — исследовать простые числа через модульную симметрию, то лучше рассмотреть последовательности
  $$s_k = a + k d$$
  и изучать их остатки по модулю малого набора чисел (2,3,5,7, …) — т.е. использовать «колёса» и резидуальные классы, а не только модуль $$N-1$$.
- Формула центра оси: корректнее записать и оговорить, что ось — это
  $$c = \frac{N-1}{2},$$
  и если $$c\notin\mathbb{Z}$$, ось лежит между значениями $$\lfloor c\rfloor$$ и $$\lceil c\rceil$$.

---

## 7. Процесс (алгоритм) проверки ваших таблиц 58/66/70/78 на кандидатность в простые числа

```mermaid
flowchart TD
  A[Вход: таблица значений] --> B[Мэппинг/нормализация (f)]
  B --> C[Фильтр: нечётные?]
  C --> D[Фильтр: не делятся на 3?]
  D --> E[Проверка делителей до sqrt(n)]
  E --> F[Результат: кандидат / составное]
```

Практически в вашем наборе {58,66,70,78}:
- После шага C: все удаляются (все чётные) ; нет кандидатов.
- Если изменить мэппинг и позволить нечётные остатки, можно получать кандидатов, но их надо фильтровать дальше.

---

## 8. Заключение и дальнейшие предложения

- Ваши аксиомы о зеркальности в модуле $$N-1$$ верны и легко формализуются в терминах модульной арифметики; они хороши для описания свойств цифровых комплементов и поведения при многократных прибавлениях одинакового слагаемого. 
- Однако фиксированная генерация чисел 58,66,70,78 по этим правилам не даёт простых чисел: все четыре — составные по причинам чётности и делимости на 3. 
- Если цель — искать или описывать простые числа, я рекомендую:
  1. Переделать мэппинг так, чтобы он допускал нечётные остатки и остатки, взаимно простые с 3 (и далее с 5,7,...). 
  2. Применять метод «колеса» (wheel) для исключения тривиальных делителей на раннем этапе. 
  3. Я могу автоматически пройти по вашей CSV;таблице (20 панелей) и пометить все элементы, которые потенциально просты по базовым фильтрам (нечётность, не делятся на 3,5,7), затем выполнить пробное деление до некоторого порога. Хотите, чтобы я это сделала? 

Скажите, желаете ли вы:
- A) чтобы я просканировала вашу CSV;таблицу и пометила кандидатов в простые числа, или 
- B) чтобы я предложила изменённую стратегию мэппинга (множество вместо {58,66,70,78}), или 
- C) чтобы я построила формальную модель последовательности $$s_k=a+kd$$ и исследовала её резидуальные классы по модулю $$m=N-1$$ и по набору малых простых?

Готова продолжить и выполнить выбранный шаг.


_____
Парагогенгейм. Измерения Парагогенгейма


_______

Удивленье
Изверженья -

Скудоумию
Преград -


Ты
Познаешь -

Без
Сомненья


Вне
Каких

Бы-то
Наград:


Пой
Себе

Бы
Б


На
Здоровье:

Всяку
Чушь,


Как
Всякий

Вздор, -
Что


Приметится
Спокойно,

То
Пойдёт


Тебе
В

Поклон.
Странно


Было
Бы

Кому-то -
Не


Тебе:
Кому-нибудь, -

Ты
Ж


Прости:
Ведь,

Ни
Паскуда


Грела
Мысли-то:

Отнюдь!
Божий


Дар
Не

Путай
Только


В
Звёздах

Есть
Ещё


Тот
Толк:

Видишь:
Есть,


Ведь,
На

Просторах
Сопряжения


Восторг:
Вот,

И
Внемли:


Ни
От

Куда
Ты


Берёшь
Сознанье

Звёзд.
Что


Же,
Друг,

Познай
Же


Снова
Пробуждения

Восторг!
_______

Парагогенгейм. Изверженья Парагогенгейма