Этюды о бесконечности

Отпечаток перста Божия должен выглядеть как знак бесконечности
     —  Карел Чапек



ВЕЧНОСТЬ И БЕСКОНЕЧНОСТЬ

Число миров бесконечно и каждый из миров (возникает) из этой беспредельной стихии.
            - Анаксимандр


Похожи "вечность", "бесконечность"
И также мозгу непонятны -
Одно понятие - беспечно
Про без конца да и без старта,

Другое - без начала, края
Оно везде, оно повсюду...
Ну как понять умом внимая?
Представить даже как-то трудно.

А вот ещё - "ничто" понятие,
Попробуйте, представьте сами...
Платон и даже Аристотель
"Ничто" вообще не принимали. 

Теперь мы знаем - не бывает
Пустот в пространстве, есть частицы,
Поля пространство занимают
Там гравитация резвится.

Начало было у вселенной
Конец наверно тоже будет.
Границы тоже не безмерны
Коль расширяется повсюду. 

Так есть слова и есть понятия,
Но что они обозначают?
Так далеко от восприятия,
Что вряд ли кто-то понимает. 




Аксиома Архимеда

а архимед помчался в ванну
его там эврика ждала
   -  В.Поляков


Просты предельно аксиомы,
Но не всегда они верны.
Что очевидно и знакомо
Не подтверждается, увы…

Их применение  условно
В границах, что определены.
Вне их они - “не аксиомны”
Иначе, просто не верны.

Так параллельные прямые,
(Что по Евклиду - пятый пункт), 
У Лобачевского другие,
И Риман тоже им не друг.   

Но есть другая аксиома
По Архимеду названа,
Хотя принадлежит Евдоксу ,
Столетием раньше, вот дела.

К нам не дошли его работы,
О них мы знаем от других.
А жаль, история однобока,
И много было их таких.

Вернёмся к аксиоме этой -
Она проста, как муравей:
А много муравьёв приметой
Слона закроют с тушей всей.   

Проста и даже тривиальна
Та аксиома, но постой
Для чисел бесконечно малых
Она является пустой.   

Мораль - не всё, что очевидно,
Святая правда для всего.
Плюс мне за автора - обидно,
Хоть двадцать пять веков прошло...



 Аксиомы, приведённые Евклидом в «Началах», таковы:

     1.  Через каждые две точки можно провести ровно одну прямую.
     2.  Вдоль любого отрезка можно провести прямую.
     3.  Имея отрезок, можно провести окружность так, что отрезок — радиус, а один из его концов — центр окружности.
     4. Все прямые углы равны.
     5. Аксиома параллельности Евклида: Через точку А вне прямой а в плоскости, проходящей через А и а, можно провести лишь одну прямую, не пересекающую а.

Разные геометрии относятся к метрическим геометриям пространства постоянной кривизны. Нулевая кривизна соответствует евклидовой геометрии, положительная — совпадающим по локальным свойствам сферической или геометрии Римана, отрицательная — геометрии Лобачевского.

 Евдокс Книдский  ок. 408 год до н. э. — ок. 355 год до н.э.)
 — древнегреческий математик, механик и астроном. Занимался также врачеванием, философией и музыкой; был известен как оратор и законовед.
Неоднократно упоминается у античных авторов. Сочинения самого Евдокса до нас не дошли, но его математические открытия изложены в «Началах Евклида». Среди его учеников были Каллипп, Менехм и Динострат.

Для отрезков аксиома Архимеда звучит так: если даны два отрезка, то, отложив достаточное количество раз меньший из них, можно покрыть больший.

Утверждение аксиомы Архимеда кажется тривиальным, но её подлинный смысл заключается в отсутствии бесконечно малых и/или бесконечно больших величин.





БЕСКОНЕЧНОСТЬ НИКОЛАЯ КУЗАНСКОГО

Единое есть всё.
…не будет более совершенного постижения, чем явить высшую умудрённость в собственном незнании…
        - Николай Кузанский, «Об учёном незнании (De docta ignorantia)»


Философ был и кардинал,
Один из первых гуманистов,
Как математику он знал!
И был ещё энциклопедистом.

До Бруно и до Галилея,
И до Коперника тогда
Он приводил свои идеи
От совершенного ума.

О бесконечности Вселенной
Без центра, края и конца.
Других мирах, как мы примерных
Где жизнь есть тоже от Творца.

Что всё в движении непрестанном,
Где “относительность” царит.
И каждый может, как ни странно,
Считать: “на месте он стоит”..

Он сблизил Бога им природу,
Считал он “максимум” Его,
В чём он опередил Спинозу
И очень многих до него.

Он ввёл “теорию познания”:
От чувств, рассудка и ума
До интуиции познавания -
Как отражение Божества.

Так чувством мы воспринимаем,
Что на поверхности вещей.
Рассудок наш всё разделяет
И видит всё, что в глубине.

Потом умом объединяем
Рассудок с чувством во одно,
И интуиций завершаем
Так познавание всего.

Лишь интуиция-царица
Противоречия примирит,
Пол-тысячи лет потом промчится
И Бергсон это повторит.

Он в математике оставил
Нам совпадение величин -
Где абсолюты только правят
И min и max - один



Николай Кузанский (1401-1464) — кардинал Римской католической церкви, крупнейший немецкий мыслитель XV века, философ, теолог, учёный-энциклопедист, математик, церковно-политический деятель. Принадлежит к первым немецким гуманистам в эпоху перехода от позднего Средневековья к раннему Новому времени.

Николай Кузанский делает вывод, что единое тождественно беспредельному, бесконечному. Бесконечное -- это то, больше чего ничего не может быть. Поэтому оно характеризуется как «максимум», единое же -- как «минимум». Николай Кузанский, таким образом, открыл принцип совпадения противоположностей (coincidentia oppositorum) -- максимума и минимума.

Опираясь на принцип совпадения противоположностей, он выделяет четыре ступени познания: - чувственное восприятие, которое не ясно отражает то, что лежит на поверхности вещей; - рассудок, противо-постовляющий противоположности; - разум, объединяющий противоположности и интуицию, когда достигается полное совпадение противоположностей. Истина, в его представлении, достижима только интеллектом, который есть отражение божества.

Анри-Луи Бергсон (1859 - 1941) - французский философ, представитель интуитивизма и философии жизни





ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ ГЕОРГА КАНТОРА

Множество может быть конечным или бесконечным.
                - Георг Кантор


А знали вы, что бесконечность
Бывает разного размера?
Неужто жили так беспечно
Не зная "кардинальной меры".

Нам Кантор тот секрет открыл,
Тогда он был в рассудке здравом.
Он доказал (и прав он был)
Что разные они бывают. 

Ну например, сравним два ряда:
Все числа взяты по порядку,
А также чисел тех квадраты.
Чей ряд длиннее, вот загадка?

Ответ постой - они равны,
Ведь каждому числу есть данный
Его квадрат, вот и по праву
Равны они, не правда - странно?

Возьмем число один и два:
И взглянем, что там между ними.
Там дробных чисел череда
До бесконечности вместили.

Иррациональные есть числа,
Ну те, что вовсе без конца:
Как пи, иль основание логарифмов…
Их бесконечность велика.

Намного больше чем обычных
Рациональных чисел ряд.
А вот вопрос: есть среди чисел
Что больше всех других подряд?

Есть Гугол - мощное число:
Там сто нулей за единицей,
Но и оно не перешло
Те "кардинальные" границы.

Велик был Кантор, обозвал
Всех чисел ряд он “кардиналом”
Обозначение ему он дал
"Алеф" - что в Хибру первым знаком.

Так вот, возьмите кардинал
И возведите в ту же степень
Вы бесконечности предел
Определили, хоть проверьте. 


Кардинальным числом или коротко кардиналом в теории множеств называется объект, который характеризует мощность множества.

Георг Кантор (нем. Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, 3 марта 1845, Санкт-Петербург — 6 января 1918, Галле (Заале)) — немецкий математик. Он наиболее известен как создатель теории множеств, ставшей краеугольным камнем в математике. Кантор ввёл понятие взаимно-однозначного соответствия между элементами множеств, дал определения бесконечного и вполне-упорядоченного множеств и доказал, что действительных чисел «больше», чем натуральных. Теорема Кантора, фактически, утверждает существование «бесконечности бесконечностей». Он определил понятия кардинальныхи порядковых чисел и их арифметику. Его работа представляет большой философский интерес, о чём и сам Кантор прекрасно знал

Пи - иррациональная константа, равная отношению длины окружности кеё диаметру ( 3,14159….)

e — иррациональная константа, основание натурального логарифма,(2,718281828...)

Гугол (от англ. googol) — число, в десятичной системе счисления изображаемое единицей со 100 нулями:10100 = 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000.

алеф - кардинальное число
Кантор доказал, что бесконечность бывает разная

Иррациональное число — это вещественное число, которое не является рациональным, то есть не может быть представлено в виде дроби в которой числитель и знаменатель рациональные числа. Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.




ЧИСЛОВОЙ РЯД НЕ БЕСКОНЕЧЕН ПО ДАРОНУ ЦЕЛЬБЕРГЕРУ

Две вещи действительно бесконечны: вселенная и человеческая глупость.
Впрочем, про вселенную я ещё не уверен.
                - Альберт Эйнштейн

Из современной геометрии: генеральная линия не состоит из бесконечного числа точек зрения.
        - Станислав Ежи Лец



О бесконечности учили
Во все века во всех краях,
Что помним мы, а что забыли....
Вопрос остался, знает всяк. 

Всё дело в том, что каждый мыслит
И меряет на свой аршин.
А в каждой дисциплине смыслом
Её иначе объясним. 

Для физика - пространство-время
Её пример и существо.
Но как Эйнштейн вверху заметил -
Сомнения были у него.

Одностороння бесконечность,
Если поверить в «Большой Взрыв».
Вселенной может светит вечность,
Но начался с чего-то срыв!

Для математика - «ряд чисел»
И в «бесконечности прямых»
Для бесконечности есть смысл -
Абстрактный мир, не для других.

Не бесконечны даже числа!
И есть огромное число,
Добавишь единицу в мыслях -
Нулём становится оно.  (1)

Для тех, кто верит «Высшей Силе» -
Она безмерна, без границ.
Ей всё подвластно в этом мире
Её познаешь - упав ниц. 

Для философских категорий
Наш «разум» лучший пример ей -
Он без границ. Но всё же стоит
Нам помнить, что сказал Эйнштейн.



Профессор Дорон Цейльбергер убежден, что числа не могут увеличиваться бесконечно, и существует такое огромное число, что если вы прибавите к нему единицу, вы получите ноль. Тем не менее, это число и его значение лежат далеко за пределами человеческого понимания, и вероятно, это число никогда не будет найдено и доказано. Это убеждение является главным принципом математической философии, известной как «Ультрабесконечность».

Дорон Цейльбергер (род. 1950) — израильской математик, известный своими работами по комбинаторике. Получил докторскую степень Института Вейцмана в 1976 году. Он является почётным профессором математики Ратгерского университета. Живёт и работает в США.

1998 — Премия Лероя Стила американского математического общества в номинации «За плодотворный вклад в исследования».
2004 — медаль Эйлера, награда в области комбинаторики за «быстрое и эффективное использование компьютеров и алгоритмов в математике»
В 2010 году в честь 60-летия Цейльбергера была организована конференция израильских и американских математиков

Число Эрдёша равно 2.




ЧИСЛО НОЛЬ И БЕСКОНЕЧНОСТЬ

Черные дыры – это место, где Бог делится на ноль.
           - А. Эйнштейн


я обращаюсь к президенту
пусть разрешит делить на ноль
       - В. Поляков


Мы заучили в раннем детстве:
Делить на ноль нельзя!” - беда,
Но почему?  Как интересен
Запретный плод нам, как всегда.

Боялись ноль с времён Эллады,
Табу там было то число.
Считалось, что его не надо —
Нулю в те годы не везло.

Стоит особо ноль средь чисел,
Он в центре числовой оси.
Как - “ничего” и, в этом смысле,
Прибавь его иль отними.

Особый он при умножении:
Умножьте что либо на ноль -
И, в результате уравнения
Есть ноль и спорить не позволь.

Возьмете даже бесконечность
На ноль помножьте, - результат
Всегда есть ноль, он есть “конечность”,
И “ничего” вернёшь назад.


Допустим, мчитесь по дороге,
Но расстояние есть - ноль!
Вы скорость вашу не найдёте,
Она - любая. В этом соль.

Эпиграф от Эйнштейна выше,
Когда есть “чёрная дыра”,
Законов физики не слышат,
Там всё абсурдно, как “ура”.

Там остановлено всё время,
Мечта у Фауста сбылась.
Там свет не вырвется из тени,
Поскольку - гравитации власть.

Бессмысленно, но существуют!
Поверить них, увы, изволь.
И потому я протестую :
Позвольте разделить на ноль!


Ноль – название цифрового знака 0, используется в математике.

Нуль – разговорная речь, используется в литературе.
Например, чтобы показать никчемность человека - «он был нулем»,

Теорема Лопиталя 1696 г. (также правило Бернулли — Лопиталя) — метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида
0/0  и ;/;
Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.





НАЧАЛО И КОНЕЦ

Жизнь – это бесконечное учение. Смотрите на каждую мудрость, как на способность стать мудрее.
       - Полемарх

Коль есть начало - есть конец!
Наука учит и религия.
Но бесконечность есть венец
И логики другой идиллия.

Начало было у Вселенной
“Да будет свет!”,  Великий взрыв
Но будет ли конец ей верный?
Быть может лопнет, как нарыв?

Родился Зевс, но стал бессмертен!
Аналогично и Христос!
В начало без конца поверьте,
Зачем вам логики вопрос?

А может смертны были боги,
Но жили дольше много нас?
Ведь мы бессмертны может тоже
По взгляду кошек и собак!

У майя боги были смертны,
Но жертвой можно жизнь продлить!
Любили боги жертвы!  Верьте.
Не потому ль так трудно жить?




ЧЕМ МЫ СУЖАЕМ БЕСКОНЕЧНОСТЬ

Каждый человек имеет некоторый горизонт взглядов. Когда он сужается и становится бесконечно малым, то превращается в точку. Тогда человек говорит: “Это моя точка зренияэ”.
          —  Давид Гильберт


Нам хочется казаться лучше
В своих глазах, в глазах чужих,
Возвышенней, красивей, чище,
Чем знают нас в кругу семьи.

Казалось, это не логично -
Важнее близких нет людей,
Те знают нас и с укоризной
Нас наблюдают средь людей.

Казаться мы хотим умнее,
Блеснуть, что знаем много в этом,
Но забываем, что важнее
Молчание - золото заветом.

Как в цвете белом есть собрание
Всех радуги цветов до призмы,
Так представляется молчание -
Собранием всех возможных мыслей.

И высказав одну из многих
Мы тем сужаем бесконечность
В единый фокус, а с ним спорить
Возможно просто и беспечно.

Как часто мы жалеем после
Что где то зря не промолчали,
Что не сдержали в сердце боли
Сказав, а все ж не полегчало.


Вот так страна не беспокоясь
О жителях своих внутри,
Свое влияние за морем
Пытается предохранить.

То предлагая им защиту
От может мнимого врага,
Деньгами, водкой, экспертизой
В десантно ядерных делах.

Как очевидно мне и многим
Порядок не придет извне,
Начать бы с собственной конюшни
В отдельно избранной стране 




НАЧАЛО БЕЗ КОНЦА ПО  Е. БЛАВАТСКОЙ

Путем комбинирования науки с религией существование Бога и бессмертие человеческого духа могут быть доказаны так же, как теоремы Евклида.
               -  Е. Блаватская 


Коль есть начало - есть конец!
Наука учит и религия.
Но бесконечность есть венец
И логики другой идиллия.

Начало было у Вселенной
“Да будет свет!”,  Великий взрыв
Но будет ли конец ей верный?
Быть может лопнет, как нарыв?

Родился Зевс, но стал бессмертен!
Аналогично и Христос!
В начало без конца поверьте,
Зачем вам логики вопрос?

А может смертны были боги,
Но жили дольше много нас?
Ведь мы бессмертны может тоже
По взгляду кошек и собак!

У майя боги были смертны,
Но жертвой можно жизнь продлить!
Любили боги жертвы!  Верьте.
Не потому ль так трудно жить?



ДУРНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ

Философский термин, введённый Гегелем для различения категории Качественная БЕСКОНЕЧНОСТЬ (бесконечное разума) и собственно термином "дурная бесконечность" (бесконечное рассудка).

У попа была собака,
Он её любил.
Она съела кусок мяса,
Он её убил.
В землю закопал,
Надпись написал:
«У попа была собака…»

Зовём “рекурсией” мы, друг,
Что замыкалось на себя,
Где нет конца, порочный круг
Где выход нам найти нельзя.

“Яйцо иль курица” вопрос,
Матрёшек бесконечный ряд,
Вопрос - ответом на вопрос -
В Одессе так и говорят.

Два зеркала лицом к лицу -
Там отражений просто тьма,
Лжец доверяется лжецу
И вор ворует у вора.

Познав себя - там тот же “ты”
И начинаешь всё опять.
Сизиф то в гору, то с горы
То камень вверх, потом он вспять.

Есть у компьютеров приём
Себя зациклить, это смерть
Розетку выдернуть при нём
Решение. Главное успеть.

На иллюстрации - две руки
Рисуют каждую другой.
А могут так застрять мозги,
Вождя я помню, был такой.

Он догонял, перегонял...
То в целину, то с целины…
То кукурузу в гриву, в хвост
Цепной реакцией кутерьмы.

Бывает так, круговорот
Себя зациклит - день и ночь,
Работа-дом, цикличный ход...
И очень трудно здесь помочь.

Решение - лишь со стороны,
Иль “вне системы”, “свежий взгляд”,
Как это знаем я и вы!
Как рекурсивно всё подряд!



Гегель понимал под термином "дурная бесконечность" (schlechte Unendlichkeit) неограниченный процесс однообразных, однотипных изменений, ничем не разрешающихся.



УРАБОРОС

В алхимических трактатах символом философского камня часто выступает змей Уроборос, пожирающий свой хвост.


Дракон, кусающий за хвост;
Кольцо змеи, круговоротом.
Древнейший символ тем и прост -
Конец - начало там чего-то.

Понятие древнее нём - вечность,
Циклический природы ход.
В нём жизни-смерти бесконечность,
Закат, с надеждой на восход.

Древнейший у Египта символ,
Известен в Индии, в Китае.
В Месопотамии был признан,
И в Греции он почитаем.

Он Инь и Яна повторение,
А центр внутри его кольца -
Был “дао” - олицетворение,
Как путь указом от Творца.

Он был печатью на гробницах,
Обозначал и рай и ад,
Он Еву соблазнил девицу,
Забравшись в Эдем, её сад.

Змей есть в легендах скандинавов,
Хоть он не житель их лесов.
С богами бился он кроваво,
И смертью им грозить готов.

Он у ацтеков - знак Вселенной,
Нашёл в алхимии почёт -
Так, этот символ сокровенный,
Как Философский Камень счёт.

Он для алхимии явление
И цикла жидкости манер,
Как нагревание, испарение
И конденсации пример.

Был символ общества Блаватской,
Он у масонов был в ходу,
В татуировках виден часто -
Он свет, входящий в темноту.



Уроборос — свернувшийся в кольцо змей или дракон, кусающий себя за хвост. Является одним из древнейших символов, известных человечеству.





ЛЕНТА МЁБИУСА

Он в задумчивости дремлет над бокалом.
И подсказывают мудрость и сердечность
Отказаться от большого, чтобы в малом
С удивленьем обнаружить бесконечность.
        - М. Юдовский


Есть геометрии фигура,
Она другим фигурам - рознь.
Простешей ленточки структура,
Но бесконечность в ней насквозь. 

В отличие от всех других
В ней есть всего одна поверхность!
Поэты - избегайте стих
Где существует одномерность.

По ней возможно без конца
Бродить границы не встречая...
Вселенная похоже так
Гигантской лентой пребывает.

Эйнштейн так думал и не зря
Он искривлял пространство-время -
Он знал - есть Мёбиус-петля,
А геометрии он верил.   

Ещё считают ДНК -
Есть вариация той ленты!
Казалось проще нет пока,
Но парадоксы в ней несметны. 

Допустим “счастье привалило"
Всю ленту обойти в движении...
В итоге в вас всё изменилось -
В зеркальном вы изображении.   

Идея есть, что отражение
В обычных наших зеркалах,
Есть ленты той проникновение,
Как частный случай!  Просто страх.   

Есть геометрии фигура,
Она другим фигурам - рознь.
Простешей ленточки структура,
Но бесконечность в ней насквозь.



Август Фердинанд Мёбиус - 1790-1866 - немецкий математик, механик и астроном-теоретик
В 1858 году установил (почти одновременно с И. Б. Листингом) существование односторонних поверхностей и в связи с этим стал знаменит как изобретатель листа Мёбиуса (ленты Мёбиуса) — простейшей неориентируемой двумерной поверхности с краем, допускающей вложение в трёхмерное евклидово пространство

Существует мнение, что вся наша Вселенная – это гигантская лента Мебиуса, в защиту которого высказывался Энштейн, проводя параллель со своей теорией вероятности, согласно которой, корабль, вылетевший прямо из одной точки Вселенной вернется  в эту же пространственную и временную точку старта.

Существует гипотеза, что полимер ДНК, представляющий собой двойную спираль, является фрагментом ленты Мёбиуса и по этой причине код ДНК так труден для расшифровки и понимания.

Если бы вы смогли пройти через всю ленту Мёбиуса, то в момент возвращения в начальную точку путешествия вы бы превратились в зеркальное отражение самого себя.

Некоторые физики, говорят о том, что оптические эффекты основаны на тех же свойствах, которыми обладает этот парадоксальный объект, так наше отражение в зеркале - это частный случай, одного из свойств ленты Мёбиуса.