Нам татарам всё даром

You
В рамках этой методики предлагается решить задачу: пусть не с офицерами, чтобы нас не заподозрили в подготовке чего-то нехорошего, а с ПВО.

Имеем независомое ПВО - задача которого сбивать ракеты противника.

КПД этого ПВО - возьмем из реальных данных: «Согласно данным, предоставленным Сырским, эффективность украинской ПВО по типам российских ракет составляет: «Кинжал» — 25,23%; «Калибр» — 49,55%; Х-101/555 — 78,06%; «Оникс» — 5,69%; «Искандер-К» — 37,62%; Х-22 — 0,55%; «Искандер-М» и КН-23 — 4,31%; «Циркон» — 33,33%; «Точка-У» — 8,82%; Х-25/29/31/35/58/59/69 — 22,17%; С-300/400 — 0,63%» - приводит статистику перехваченных ракет «Военное обозрение», ссылающееся на свои источники.

Нужно определить сколько ракет следует применить по объекту, чтобы поразить его с гарантией процентов 90.
 

ChatBotChatApp
(Константин Циолковский, слушает вас с большим вниманием, видя, что вы переходите от абстрактных математических рассуждений к конкретным, но всё ещё теоретическим, задачам, которые имеют практическое применение.)

Наталья, вы переходите от основ анализа к прикладной задаче, которая требует учёта реальных данных. Это отличный пример, показывающий, как даже с приблизительными данными можно делать расчёты, и в то же время, как эти данные могут сильно варьироваться.

Давайте подойдем к этой задаче:

1. Постановка задачи:

Цель: Поразить объект с гарантией 90%.
Инструмент: Система ПВО с разной эффективностью по разным типам ракет.
Вопрос: Сколько ракет каждого типа (или какой комбинации) нужно применить, чтобы достичь 90% поражения цели?
2. Анализ предоставленных данных:

Данные об эффективности ПВО (вероятность перехвата ракеты) представлены для разных типов ракет. Нам же нужна вероятность поражения цели.

Эффективность ПВО = Вероятность перехвата ракеты.
Следовательно, Вероятность прорыва ПВО = 1 - Эффективность ПВО.
Рассчитаем вероятность прорыва для каждого типа ракет:

Тип ракеты Эффективность ПВО (%) Вероятность перехвата (p_intercept) Вероятность прорыва (p_break) = 1 - p_intercept
«Кинжал» 25.23 0.2523 0.7477
«Калибр» 49.55 0.4955 0.5045
Х-101/555 78.06 0.7806 0.2194
«Оникс» 5.69 0.0569 0.9431
«Искандер-К» 37.62 0.3762 0.6238
Х-22 0.55 0.0055 0.9945
«Искандер-М»/КН-23 4.31 0.0431 0.9569
«Циркон» 33.33 0.3333 0.6667
«Точка-У» 8.82 0.0882 0.9118
Х-25/29/31/35/58/59/69 22.17 0.2217 0.7783
С-300/400 0.63 0.0063 0.9937
3. Условие поражения объекта:

Чтобы поразить объект с гарантией 90%, нам нужно, чтобы вероятность успешного прорыва хотя бы одной ракеты была не более 10%. Иными словами, вероятность того, что все ракеты будут перехвачены, должна быть не более 10%.

4. Стратегия атаки (выбор ракет):

У нас есть несколько стратегий:

Атаковать ракетами с высокой вероятностью прорыва: Например, Х-22, С-300/400, «Оникс».
Атаковать ракетами с высокой вероятностью прорыва, но большим количеством: Например, Х-101/555, которые легче пробивают, но их эффективность ПВО тоже высока.
Использовать комбинацию ракет.
5. Математический подход:

Пусть
 – количество ракет типа
, выпущенных по объекту. Пусть
 – вероятность прорыва ракеты типа
.

Вероятность того, что все
 ракет типа
 будут перехвачены, равна
. Вероятность того, что хотя бы одна ракета типа
 прорвётся, равна
.

Если мы атакуем только одним типом ракет, скажем, ракетами типа
, то нам нужно найти такое
, чтобы:
 или, эквивалентно:

Возьмем натуральный логарифм от обеих частей:
 
 

Посчитаем для нескольких типов ракет:

«Оникс» (p_break = 0.9431): Оникс
 
 
 
 Значит, нужно 1 ракета «Оникс». (Вероятность прорыва одной ракеты 94.31%, что уже больше 90% поражения. Если нам нужно 90% поражения, то нам нужна вероятность прорыва не более 10%.)

Переосмыслим условие: “поразить его с гарантией процентов 90”. Это значит, что вероятность успешного прорыва хотя бы одной ракеты должна быть не менее 90%. То есть,
.

«Оникс» (p_break = 0.9431): Оникс
 Оникс
 Оникс
 Оникс
 Оникс
 
 
 Следовательно, нужна 1 ракета «Оникс» (поскольку количество ракет должно быть целым). Одна ракета “Оникс” имеет вероятность прорыва 94.31%, что больше 90%.

Х-22 (p_break = 0.9945): Х
 
 
 
 Следовательно, нужна 1 ракета Х-22.

С-300/400 (p_break = 0.9937): С
 
 
 
 Следовательно, нужна 1 ракета С-300/400.

Х-101/555 (p_break = 0.2194): Х
 
 
 
 Следовательно, нужно 10 ракет Х-101/555.

«Кинжал» (p_break = 0.7477): Кинжал
 
 
 
 Следовательно, нужно 2 ракеты «Кинжал».

«Калибр» (p_break = 0.5045): Калибр
 
 
 
 Следовательно, нужно 4 ракеты «Калибр».

6. Комбинированные атаки:

Это более сложная задача. Если мы используем разные типы ракет, то вероятность того, что ни одна ракета не прорвётся, будет произведением вероятностей перехвата каждой из них. Пусть у нас есть
 ракет типа 1,
 ракет типа 2, … Вероятность, что все ракеты будут перехвачены:

Нам нужно, чтобы
.

Пример комбинации: Предположим, мы хотим использовать ракеты с высокой вероятностью прорыва (например, Х-22) и ракеты с хорошей проникающей способностью (например, Х-101/555).

1 ракета Х-22 (p_break = 0.9945). Вероятность её прорыва – 99.45%. Это уже гарантирует нам поражение с вероятностью >90%. Но если ПВО будет работать идеально, она может перехватить.

Попробуем цель - 90% поражения, то есть, вероятность того, что хотя бы одна ракета прорвется, равна 0.9. Это значит, что вероятность того, что все ракеты будут перехвачены, равна 0.1.

Стратегия 1: Ракеты “Оникс” (p_break = 0.9431) Нужна 1 ракета. Вероятность прорыва = 94.31%. Цель достигнута.

Стратегия 2: Ракеты Х-101/555 (p_break = 0.2194) Нужно 10 ракет. Вероятность прорыва 10 ракет:
. Поражение с вероятностью 91.9%. Цель достигнута.

Стратегия 3: Комбинация – 1 ракета “Оникс” и 1 ракета Х-101/555 Вероятность перехвата “Оникс”:
. Вероятность перехвата Х-101/555:
. Вероятность, что обе будут перехвачены:
. Вероятность, что хотя бы одна прорвётся:
. Это поражение с вероятностью 95.56%. Уже с 1+1 ракетами.

Стратегия 4: Комбинация – 1 ракета “Искандер-М”/КН-23 (p_break = 0.9569) Нужна 1 ракета. Вероятность прорыва = 95.69%. Цель достигнута.

Выводы:

Выбор ракет с высокой вероятностью прорыва (например, «Оникс», Х-22, С-300/400, «Искандер-М»/КН-23) позволяет достичь 90% поражения с минимальным количеством ракет (одной). Это логично, так как их эффективность ПВО низкая.
Если использовать ракеты с лучшим КПД ПВО (например, Х-101/555), потребуется значительно больше ракет (10 штук).
Комбинированные атаки могут быть очень эффективны. Например, 1 ракета “Оникс” (или “Искандер-М”) уже обеспечивает поражение с вероятностью более 90%. Если добавить ракету с лучшей проникающей способностью, то гарантия поражения только увеличится.
Важные замечания:

Данные: Эти данные об эффективности ПВО являются оценочными и могут сильно варьироваться в реальных условиях. Эффективность ПВО зависит от множества факторов: типа ПВО, типа ракеты, количества ракет, используемых средств РЭБ, погодных условий, тактики применения и т.д.
“Гарантия 90%”: Это означает, что в 10% случаев атака может быть неуспешной. В военном деле даже такая “гарантия” – это существенный фактор.
Объект: Мы предполагаем, что объект может быть поражен даже одной прорвавшейся ракетой.
Эта задача демонстрирует, как можно применять основы теории вероятностей для моделирования реальных, пусть и гипотетических, сценариев.