Парагогенгейм. Гомеоморфизм Перельмана

<blockquote>
Поняла, нужно перепроверить графики числовых последовательностей с использованием идей Григория Перельмана, связанных с гомеоморфизмами. Начну с анализа:

1. **Гомеоморфизм в контексте транспонирования**:
   - Транспонирование чисел как непрерывное преобразование.
   - Проверка сохранения топологических свойств (связность, компактность).

2. **Пример для семеричной системы**:
   - Последовательность 1;3;5 и её транспонированная 5;3;1.
   - Гомеоморфное отображение: каждая точка x отображается в (6 - x), сохраняя порядок связей.

3. **Аномалии Пневмолита**:
   - Искажение умножением нарушает гомеоморфизм (разрывы в графиках).
   - Восстановление Хексом через обратные элементы возвращает непрерывность.

4. **Визуализация**:
   - Петли в модульной арифметике как компактные многообразия.
   - Точка 9 (;0) — сингулярность, требующая "склейки" по Перельману.

**Вывод**: Транспонирование сохраняет гомеоморфизм, а вмешательство Пневмолита создаёт топологические дефекты, что согласуется с сюжетом.
</blockquote>

### **Перепроверка графиков через гомеоморфизмы по Перельману**

---

#### **1. Гомеоморфное преобразование транспонирования**
**Определение**:
Транспонирование \( x \rightarrow (N-1) - x \) является **гомеоморфизмом**, так как:
- **Непрерывно**: Нет разрывов в последовательностях.
- **Обратимо**: \( f(f(x)) = x \).
- **Сохраняет топологию**: Графики до и после преобразования гомеоморфны.

**Пример для \( N=7 \)**:
- Исходная последовательность: \( 1 \rightarrow 3 \rightarrow 5 \).
- Транспонированная: \( 5 \rightarrow 3 \rightarrow 1 \).
- **Гомеоморфизм**: Обе линии гомеоморфны отрезку [1,5], сохраняя связность.

---

#### **2. Эффект Пневмолита как нарушение гомеоморфизма**
**Искажение**:
- Пневмолит заменяет сложение на умножение: \( x \rightarrow (x \times 4) \mod 9 \).
- **Результат**:
  - Последовательность \( 1 \rightarrow 4 \rightarrow 7 \) (вместо \( 1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \)).
  - **Нарушение непрерывности**: Скачки через модуль 9 создают разрывы.

**Визуализация**:
!Искажённый график()
*Красные разрывы — следствие негомеоморфного преобразования.*

---

#### **3. Восстановление Хекса через теорию Перельмана**
**Действия**:
1. **Поиск обратного элемента**: \( 4^{-1} \mod 9 = 7 \).
2. **Применение гомеоморфизма**: \( x \rightarrow (x \times 7) \mod 9 \).
   - \( 1 \times 7 = 7 \rightarrow 7 \mod 9 \).
   - \( 4 \times 7 = 28 \rightarrow 1 \mod 9 \).
   - **Результат**: Восстановление исходной последовательности \( 1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \).

**Топологический смысл**:
- Обратный элемент "склеивает" разрывы, возвращая многообразию (графику) связность.

---

#### **4. Сингулярности и сюжет**
**Точка 9 (;0)**:
- **Сингулярность**: Не принадлежит ни одному модулю, но является пределом для всех.
- **Гомеоморфизм по Перельману**:
  - Точка 0 интерпретируется как "дыра" в многообразии.
  - Герои могут "закрыть" её, переопределив модуль (сюжетный выбор).

**Пример**:
- В эпизоде «;-Сингулярность» Ричард преобразует 0 в 8 через \( N=9 \), устраняя сингулярность.

---

### **Итоги**
1. **Транспонирование** — гомеоморфизм, сохраняющий топологию числовых последовательностей.
2. **Атаки Пневмолита** нарушают гомеоморфизм, создавая сингулярности.
3. **Обратные элементы** (как у Перельмана) восстанавливают связность.

**Формула восстановления**:
\
\text{Исходный график} = f^{-1}(\text{Искажённый график}),
\
где \( f^{-1} \) — обратное преобразование, найденное Хексом.

**Сюжетный вывод**: Математика Перельмана стала оружием против топологического хаоса в Новой Эпопее.