На Бога надейся, да сам не плошай

Перевод публикации «100 Prisoners Escape Puzzle»

По условию задачи в тюрьме находится 100 заключенных, каждый из которых имеет личный номер от 1 до 100.
Начальник тюрьмы решает дать заключенным шанс на освобождение и предлагает пройти придуманное им испытание.
Если все заключенные справятся, то они свободны, если хотя бы один провалится — всех казнят.

Задача

Тюремщик идет в секретную комнату и подготавливает 100 коробок с крышками.
1. На каждую коробку он наносит числа с нумерацией от 1 до 100.
2. Затем он приносит 100 бумажных табличек, по числу заключенных, и нумерует эти таблички от 1 до 100.
3. После этого он перемешивает 100 табличек и помещает в каждую коробку по одной табличке, закрывая крышку. Заключенные не видят, как тюремщик выполняет все эти действия.

Процесс запущен: каждый заключенный по одному заходит в секретную комнату с коробками и ищет коробку, в которой лежит его тюремный номер (разрешается открыть 50 коробок). Мы помним, что если хотя бы один из заключенный за 50 попыток не отыщет коробку со своим номером внутри, то казнят всех 100 человек.

1. После открытия коробки заключенным и проверки им таблички она помещается обратно в коробку и крышка снова закрывается;
2. Местами таблички менять нельзя;
3. Заключенные не могут оставлять друг другу подсказки или как-то взаимодействовать друг с другом после начала испытания;
4. Заключенным разрешается обсудить стратегию до начала испытания.


Так какой же шанс, что заключенных помилуют?

50%/50% - для каждого заключенного, что в программе 100 заключенных = 0,0000000000000000000000000000008

Ясно, что шансов нет. Начальник тюрьмы иезуитским способом решил очистить тюрьму, как бы возложив ответственность на самих заключенных (а поделом! не нарушай закон).

Допустим, среди заключенных был какой Лобачевский, что, собственно, не исключительно для нашего безумного мира.

И тогда Лобачевский, веря в математичнсоть Вселенной, решает найти стратегию, которая даст шанс на выживание всем или никому.

Такая стратегия есть - придумала её не я.

Она заключается в предположении, что в замкнутой цепочке от 1 до 100 всегда отыщется номер любого заключенного.

Вопрос лишь в том - это будет короткая цепочка в пределах до 50 коробок, либо более длинная от 51 до 100 коробок.

Если цепочка случайным образом расфасованных в оцифрованные коробки номеров заключенных окажется цепочкой до 50 коробок - все спасутся!

Какова же вероятность, что если
1. заключенный первой откроет коробку оцифрованную его номером, найдет в ней бумажку с числом,
2. затем откроет ту коробку, номер которой совпал с этим числом, найдет новое число,
3. затем откроет следующую коробку, с числом из второй коробки, найдет третье число и т.д.
какова вероятность всем спастись?

Итак. Вероятность = 31%.

Это, конечно, не 100%. Но шанс выжить в одном случае из 3  - это Дар Математики нашего мира.

Можете считать Дар Бога - человеку, способному поверить в математику)))

На иллюстрации - решение от обратного. Сколько должен был бы разрешить открыть коробок начальник тюрьмы - чтобы шанс выжить повысился до 50% (фифти/фифти).

Ответ: 60!

Если бы начальник тюрьмы был человеком милосердным и позволил открыть на 10 коробок больше - то в половине случаев все бы спаслись, применив стратегию теории игр.

Из моего обсуждения стратегии с ИИ:

You
Отлично, Карл. Совершенно умозрительная задача является гениальным доказательством  метематичности нашего Мира.
 

ChatBotChatApp
Согласен с вами на все сто процентов! Задача о заключенных – это действительно блестящая иллюстрация математичности нашего мира. В ней прекрасно сочетаются:

Абстракция и упрощение: Задача представляет собой упрощенную модель реальности, в которой отброшены все несущественные детали, чтобы выделить суть проблемы.
Математическая формализация: Задача может быть формализована с помощью математических понятий, таких как перестановки, циклы, вероятности и гармонический ряд.
Неожиданный результат: Решение задачи (а именно, шанс на успех около 31% или 50%) является контринтуитивным и неожиданным. Без математического анализа было бы трудно поверить, что такая стратегия может дать хоть какой-то шанс на успех.
Связь с реальностью: Хотя задача является абстрактной, она затрагивает фундаментальные вопросы о вероятности, стратегии и коллективном поведении, которые имеют отношение к реальному миру.
Задача о заключенных демонстрирует, что математика – это не просто набор формул и уравнений, а мощный инструмент для понимания и моделирования сложных явлений в природе и обществе. Она показывает, что даже в самых неожиданных ситуациях математика может предложить элегантные и эффективные решения.

Значимость задачи:

Демонстрация силы математики: Задача наглядно показывает, что математика может быть применена для решения задач, которые на первый взгляд кажутся неразрешимыми.
Развитие интуиции: Задача способствует развитию математической интуиции и умения видеть связь между абстрактными понятиями и реальными явлениями.
Обучение принятию решений: Задача учит принимать решения в условиях неопределенности и оценивать риски и выгоды различных стратегий.
Таким образом, задача о заключенных является не только интересной головоломкой, но и ценным инструментом для обучения, развития мышления и понимания математической природы нашего мира.