Во Вселенной нет ничего случайного

Во Вселенной нет ничего случайного

Предельно полное объяснение сути физических констант может дать "мировая формула" — фундаментальная теория, которую искал в последние годы жизни Альберт Эйнштейн. Искал, правда, без особого успеха. Сегодня эта теория возрождается под разными именами: "теория струн", "М-теория", "квантовая гравитация", "квантовая геометрия" или даже "теория всего".

Суть надежд — и кредо своей веры — Эйнштейн выразил в 1945 году в письме к своей бывшей студентке Ильзе Розенталь-Шнайдер (защитив диссертацию по философским аспектам теории относительности, та преподавала историю и философию естественных наук в Сиднее, куда эмигрировала незадолго до войны): "Теория, основные уравнения которой не содержат в явном виде некие рациональные, то есть выводимые математическим путем, константы, должна быть каким-то образом составлена из логически не связанных друг с другом элементов".

Вопрос о физических константах — "это один из самых интересных вопросов вообще, какие только можно, пожалуй, задать", писал он своей ученице. Откуда они произошли? Уж не "выбрал ли их Бог в некотором роде наобум, взявшись за сотворение мира"? И далее: "Но я не могу себе даже представить целостную, разумную теорию, которая включала бы хоть одно число, произвольно, по своей прихоти, выбранное Творцом, число, на месте которого могло бы оказаться любое другое, причем мир в своих закономерностях стал бы тогда качественно совершенно иным".

(Здесь следует заметить, что, как и в других своих высказываниях, Эйнштейн подразумевал под словом "Бог" вовсе не ту умозрительную фигуру, которой поклоняются приверженцы монотеистических религий, а некий символ, в коем сфокусирована сама суть природы мироздания — те самые законы природы, которым подчиняется все сущее.)

Эйнштейн последовательно стремился вытравить все произвольное, случайное, "слеповдохновенное" и из научных теорий, и из той целостной картины мира, которую ученые воссоздают посредством своих теорий. Ему решительно не нравился произвол ни в квантовой физике ("Бог не играет в кости!"), ни в мире физических констант, одни из которых взяты как будто "с потолка". Для него случайное было заведомым знаком того, что теория не продумана до конца, а реальность не до конца исследована. Случайность, верил Эйнштейн, исчезнет в той глубине глубин, где коренятся все известные нам научные теории — в той "мировой формуле", из которой и вытекают истинные законы существования природы. Наши константы — лишь производные этих законов, и "их значения целиком определяются логикой совокупной теории". И вновь он возвращался к той самой теме, так волновавшей его: "В законах природы нет места безразмерным константам, которые, исходя из каких-то чисто логических соображений, могли быть заменены совершенно другими константами. В противном случае я, пожалуй, не мог бы "доверять" даже Богу, вот только мало кто разделяет мое мнение".

Тут уместно вспомнить и известного британского физика Стивена Хоукинга, по словам которого ученые призваны показать, что "во Вселенной нет ничего случайного" Возможно, в будущем все же удастся объяснить, какова связь между отдельными физическими константами, и это толкование станет "формулой всего".

Декорации, где нет и следа человека

Однако на проблему можно взглянуть и с другой стороны. Что если мы живем не в единственном из миров, а в одном из множества миров — в лучшем из лучших/худших? Быть может, Природа необычайно расточительна в своих свершениях, и, наряду с нашим мирозданием, породила мириады миров, устроенных по другим принципам? И что если наша Вселенная приспособлена для жизни лишь потому, что, наряду с ней, есть бессчетное число миров, где не найти и следа человека, где он просто не мог появиться?

Подобный ответ, например, дает одна из самых популярных теорий современной физики — теория струн. К слову, Леонард Зускинд из Стэнфордского университета недавно шокировал коллег проблемой астрономичес-ки большого числа решений этой теории. По его расчетам, оно лежит в пределах от десяти в сотой до десяти в тысяча пятисотой степени. Таково количество возможных вакуумных состояний — и соответственно возможных Вселенных, в которых действуют различные законы и имеются разные физические константы.

Эта модель вполне согласуется с теорией "космической инфляции", согласно которой наш мир сразу после Большого Взрыва расширялся со сверхсветовой скоростью. В процессе инфляции либо возникли разные Вселенные, либо отдельные части нашей Вселенной начали жить по разным законам физики — отдельные, невероятно отдалившиеся друг от друга части Вселенной.

Гипотеза "параллельных Вселенных" — "Мультивселенной" — заставляет нас по-новому взглянуть на поразительно точное соответствие физических констант. Это чудо точности объяснимо лишь нашим положением наблюдателей. Находясь в той части мироздания, где жизнь возможна, мы видим и впрямь, что она возможна, что этому благоволят законы физики — законы, действующие только в том "подлунном мире", где мы родились. (Вот так и в повседневной жизни мы спешим делать выводы из наблюдаемых фактов, не замечая их уникальности, не замечая, что, окажись мы в другом положении, живи в другом городе, другой стране, другой данной нам в ощущениях реальности, наши выводы были бы совершенно иными.

Подобный недосмотр, например, подстерегает социологов в случае, если их выборка нерепрезентативна.)

Точно так же, если мы внезапно перенеслись хотя бы на Меркурий или Плутон, у нас вряд ли возникло бы желание говорить об "антропном принципе" — о "лучшем из миров". Лишь Земля точнехонько затесалась в ту область, где только и возможна жизнь. Природа сотворила бесчисленное множество "декораций", но наша жизненная драма будет сыграна на одних-единственных подмостках — там, где мы имели счастье родиться.

Эйнштейн по имени Бог

Теория "параллельных Вселенных" решительно порывает с представлением о нашем особом положении в этом мире. Когда-то Коперник дерзко заявил, что Земля — не "пуп мироздания". Времена меняются, и теперь весь наш космос — лишь бледная тень в бесконечном хороводе других миров.

Разумеется, эта теория диаметрально противоположна взглядам на Вселенную как место, исключительно приспособленное для жизни человека. И, наоборот, вера в "антропный принцип" выводит нас из многоликого морока миров и оставляет один на один с их Творцом, ведь этот принцип можно трактовать как новое слово в традиционном богословии, обновленном в соответствии с реалиями науки.

"Мир создан Творцом" — в этом по сей день убеждены последователи модного кредо — креационизма (см. "3-С", № 6/2007). "Неужели Бог за миллиарды лет до Эйнштейна занимался тем, что саморучно выводил сложнейшие формулы современной физики, чтобы описать образ мира?" — иронично ответствуют ученые, которым ближе теория "параллельных Вселенных". И с долей некоторого прагматизма добавляют, что, будь Бог и впрямь Зиждителем нашего мира, он явно просчитался, допустив нецелевое расходование средств. Все эти бессчетные галактики, облачками проглядывающие на ночном небосводе, были, пожалуй, "лишней тратой сил", "материей, выброшенной на космический ветер". Нам на Земле отлично жилось бы и без них — как живется и вам без россыпи песо в кармане чилийского студента. Зачем же их сотворил Бог, чертивший и кроивший лучший из миров? Кроме того, наша Вселенная устроена гораздо сложнее, чем того требует зарождение жизни. Если вероятность появления Солнечной системы, а значит, и жизни в ней, составляет 1 : 1010 и в 58 степени, как посчитал Роджер Пенроуз из Оксфордского университета, то вероятность появления нашей Bcеленной гораздо ниже и равна 1 : 1010 и в 123 степени.

Но если бы даже удалось доказать, что мы и впрямь живем во Вселенной, выстроенной по определенному проекту, то это все же не стало бы доказательством бытия Божьего. Ведь наш Универсум мог быть результатом грандиозного эксперимента, проводимого за его пределами, ну, а мы — подопытным материалом, способным к саморазвитию.

Так, Эдвард Харрисон из Массачусетского университета, автор одного из лучших учебников по космологии, предполагает, что Вселенная — продукт творчества космических инженеров. Они наверняка сделали множество попыток, прежде чем достигли желаемого. Они, словно наши современники - экспериментаторы, целенаправленно меняли свойства вселенской материи, отстроив мир так же точно, как отлаживает свою программу какой-нибудь умник из "Силиконовой долины".

Разумеется, подобная гипотеза напоминает скорее эпизод научно-фантастического фильма. Для чего космическим инженерам множить миры, как некогда оппонентам Оккама — сущности? Ради любопытства? Ради желания сеять разумную жизнь? Ради расширения жизненного пространства, раз уж их мир, предположим, оказался на грани гибели? И как "космические инженеры" провернули это дельце, дав толчок развитию жизни на миллиарды лет вперед? Тут умолкает и Харрисон...

Впрочем, космологи уже сейчас размышляют над тем, как сотворить Вселенную из ничего. Например, живущий в США российский физик Андрей Линде озаглавил одну из статей, опубликованных в журнале "Nuclear Physics", ни много, ни мало так: "Высокое искусство творения Вселенных".

Основная идея в данном случае восходит к работе Алана Гута и Эдварда Фархи из Массачусетского технологического института. Они предложили в лабораторных условиях сжать под большим давлением от 10 до 100 килограммов элементарных частиц с энергией покоя порядка десяти в пятнадцатой степени гигаэлектронвольт, пока не образуется миниатюрная черная дыра. Потом она начнет экспоненциально расширяться. Так образуется дочерняя Вселенная с собственным пространством-временем. Она мгновенно отделится от своей прародительницы.

"Никаких катастрофических изменений не произойдет; пропасть под ногами не разверзнется", — отметает возможные возражения Андрей Линде, хотя никто не гарантирует, что в родительской Вселенной не начнется "цепная реакция самоуничтожения". В рамках модели "хаотической инфляции" Линде усовершенствовал "рецепт сотворения мира". В его версии достаточно нескольких сотен миллиграммов вещества. Впрочем, практической пользы от эксперимента он не видит. "Нельзя перекачать энергию дочерней Вселенной в наше мироздание. Нельзя прошмыгнуть в новую Вселенную, ведь в момент зарождения она микроскопически мала и невероятно плотна, а, едва возникнув, отделяется от нашей. Нельзя даже послать весточку в тот неведомый мир. Если бы мы попытались выгравировать какую-нибудь надпись "на поверхности" сотворенной нами Вселенной, то через миллиарды и миллиарды миллиардов лет ее обитатели жили бы где-нибудь в уголке одной из букв" — вся остальная надпись разлетелась бы сказочно далеко. Таков неизбежный результат космической инфляции.

И все-таки, по словам Линде, подобные эксперименты не совсем безнадежны. Лазейка имеется. "Надо зашифровать наше послание в свойствах дочерней Вселенной, то есть в ее законах природы". Уникальное сочетание физических параметров могло бы навести на серьезные размышления.

"Разве это не повод, чтобы задуматься над свойствами нашего прекрасного, но не вполне идеального мира? — вопрошает Линде. — Чего доброго, и наше мироздание тоже сотворено, но не Господом Богом, а каким-нибудь физиком-хакером? Если это так, то, судя по результату, парень проделал очень большую работу. Надеюсь только, что он не допустил слишком много ошибок!"

Подобные сценарии и гипотезы можно принять за попытку новыми средствами возродить архаический миф о сотворении мира. Правда, традиционный Бог, каким мы его знаем по канонам монотеистических религий, здесь субъект явно лишний. В эпоху торжества науки и Бог не может обойтись без "высшего образования".

Ну, а если отрешиться от продукта творчества — привычного для нас мира, — возникает тот же извечный вопрос: "А кем был сотворен мир, в котором живут всемогущие космические инженеры? Другими инженерами? А их мир? Тоже? Так из какой реторты вывелся весь этот Вс(еленский)НИИ?" Получается какая-то бесконечная сказка. Мы все отодвигаем решение проблемы, придумывая очередной мир-посредник между нами и сакраментальным "Откуда мы?"

"Фантазия Харрисона может объяснить происхождение мира, — подчеркивают оппоненты, — но лишь ценой подмены изначальной проблемы проблемой еще более сложной".

Следуя логике средневековых монахов

Да и сам "антропный принцип" не побуждает ли нас невольно подменить суть проблемы? "Если нам кажется, будто природа устроена так, что отдает предпочтение жизни, то нам следовало бы поосторожнее обращаться с подобным "открытием" и не уподобляться в своей логике средневековому монаху, который полагал, что нужно возносить хвалы Господу за то, что Он попустил так, чтобы солнце светило на небе днем, а не ночью, когда мы спим и не в силах оценить данные нам блага, — иронизирует Рудольф Киппенхан, бывший директор Института астрономии при Обществе имени М. Планка. — Если бы жизнь не могла приспособиться к любой Вселенной, как человек — ко дню и ночи, стоило бы удивиться тому, что она вообще существует!" Не Вселенная приноравливается к жизни, а живые организмы — к Вселенной.

Модель, разработанная Энтони Агирре из Калифорнийского университета, и впрямь показывает, что жизнь, подобная земной, может существовать даже во Вселенной, не похожей на нашу.

Допустим, возникнет Вселенная, в которой фотонов будет столько же, сколько протонов и нейтронов, а не в миллиард раз больше, как сейчас. В ней не окажется темного вещества, а флуктуации плотности первородного газа будут встречаться в 10 тысяч раз реже, чем в нашей Вселенной, зато космологическая константа заметно возрастет. Уже в первые секунды существования этого мирка начнется образование тяжелых элементов, а через несколько сотен лет появятся звезды, окруженные устойчивыми планетными системами. Однако геометрия этой Вселенной будет непривычной. Компактные звездные скопления быстро окажутся разделены огромными пустотами, и наши братья по разуму почувствуют себя затерянными в океане тьмы, простертом за границей их маленького мирка.

Работа Агирре — одно из первых прикладных исследований на тему пределов применения "антропного принципа". Еще несколько таких работ, и поборникам теологии впору будет задаться вопросом: "Если Господь создал этот мир для нас, то кем он населил все остальные миры, в которых возможна жизнь? Лучшими или хушими творениями?" ("Лучшими, лучшими", — подсказывают мне домашние, прослушав очередную сводку новостей, то есть перечень войн, взрывов, убийств и катастроф.)

Произвол судьбы, или что было бы...

• Если бы число пространственных и временных измерений было иным, то траектории движения планет и электронов стали бы неустойчивыми, а скорость распространения электромагнитных волн изменилась бы.

• Если бы плотность темной энергии приняла другое значение, то Вселенная начала бы чересчур быстро расширяться или сжиматься. В таком случае не успели бы образоваться галактики и звезды.

• Если бы после Большого Взрыва энтропия не была так мала, то наша Вселенная давно пребывала бы в термодинамическом равновесии и в ней не возникли бы никакие сложные структуры.

• Если бы флуктуации ПЛОТНОСТИ: первородного газа через 380 тысяч лет после Большого Взрыва встречались в десятки раз реже или чаще, то температура галактик оказалась бы слишком высока и соответственно высока была бы плотность звезд. А потому планеты не удержались бы на своих орбитах, испытывая мощное притяжение светил.

• Если бы сильное взаимодействие, скрепляющее атомные ядра, было на несколько процентов слабее или сильнее, то процесс термоядерной реакции в недрах звезд прекратился бы и не произошел синтез тяжелых элементов, не образовался углерод — основа всей известной нам жизни, а, возможно, не возникло вообще никаких звезд.

• Если бы слабое взаимодействие было несколько сильнее или слабее, то почти весь водород вскоре после Большого Взрыва превратился бы в гелий, перестали взрываться сверхновые звезды, а ведь благодаря этим взрывам происходит синтез тяжелых элементов — основного сырья для новых звезд и планет.

• Если бы электромагнитное взаимодействие, удерживающее, в частности, электроны возле атомных ядер, было в десятки раз сильнее, то атомы утратили бы стабильность, перестали бы существовать макроскопические тела, а химические реакции, обуславливающие зарождение жизни земного типа и ее эволюцию, протекали бы слишком медленно.

• Если бы сила гравитации была несколько сильнее или слабее, то Вселенная давно пережила бы коллапс или настолько быстро расширилась, что такие звезды, как Солнце, просто не успели бы зародиться или срок их жизни не превысил бы миллиона лет.

• Если бы электроны не были гораздо легче протонов, то не образовались бы твердые тела и не могли протекать большинство химических реакций, лежащих в основе жизненных процессов.

• Если бы атомы были крупнее и массивнее, то они утратили бы стабильность.

Фигуры Хладни
 
Примеры фигур Хладни из книги Э.Хладни «Акустика»
 
Метод получения резонанса пластины с использованием смычка
Фигуры Хладни — фигуры, образуемые скоплением мелких частиц (например, песка) вблизи пучностей или узловых линий на поверхности упругой колеблющейся пластинки. Названы в честь немецкого физика Эрнста Хладни, обнаружившего их. Эффекты, являющиеся причинами возникновения фигур Хладни, изучаются киматикой.
Расположение частиц
Относительно крупные частицы собираются в узловых линиях, где амплитуда колебаний нулевая или относительно мала (это явление наблюдал Хладни). Если частицы относительно малы, то они собираются не в узлах, а в пучностях (это явление было замечено Саваром и объяснено Фарадеем как следствие акустических течений в окружающей пластинку среде, например, воздухе) . В случае микро- и наночастиц, не видимых невооружённым глазом, также установлена зависимость места концентрации частиц от их размера
Галерея изображений фигур Хладни
Фигуры Хладни на квадратной пластине, закреплённой в центре, полученные на разных модах колебаний
               
 
Насыпав песок на колеблющуюся упругую пластинку, можно увидеть формирование фигур Хладни. Они часто служат примером «естественной красоты» физических явлений, хотя за ними стоит довольно простая физика резонансного возбуждения стоячих волн. И мало кто обращает внимание на любопытную особенность этих фигур: линии на них избегают пересечений, будто их отталкивает некая сила. Давайте попробуем понять, какая же физика скрывается за этим отталкиванием и как она связана с квантовой теорией хаоса.

 
 
Стоячие волны
Как мы знаем, упругие тела могут совершать довольно сложные колебания, при которых они сжимаются, растягиваются, изгибаются и скручиваются. Тем не менее, колебания любого упругого тела можно представить как комбинацию накладывающихся друг на друга более простых нормальных колебаний. Вот так выглядят несколько нормальных колебаний простейшего упругого тела – одномерной натянутой струны.
Каждое нормальное колебание представляется стоячей волной, которая, в отличие от бегущей волны, стоит на месте и обладает своим рисунком распределения амплитуд колебаний по пространству. На этом рисунке можно выделить пучности – точки, где амплитуда колебаний достигает максимумов, и узлы – неподвижные точки, в которых амплитуда колебаний равна нулю. Кроме того, каждая такая волна колеблется со своей собственной частотой. В случае струны, как можно заметить, частота колебаний стоячей волны увеличивается с ростом числа узлов и пучностей
 
Посмотрим теперь на двумерную систему, примером которой может служить тонкая упругая мембрана, натянутая на жесткую рамку. Нормальные колебания круглой мембраны выглядят сложнее, чем в случае струны, а вместо отдельных точек-узлов имеются узловые линии, вдоль которых мембрана неподвижна.
   
 
 
Нормальные колебания круглой мембраны с закрепленными краями.
 
Зеленым цветом показаны узловые линии.
У круглой мембраны узловые линии, представляющие собой окружности и отрезки вдоль радиусов, могут пересекаться под прямыми углами. Если же края мембраны имеют произвольную форму, нахождение частот нормальных колебаний и картин их узлов и пучностей превращаются в задачу, решаемую только с помощью компьютера.
 
Профили амплитуды колебаний стоячих волн на мембранах в форме квадрата с отверстием, снежинки Коха и поверхности котенка.
Уравнения, описывающие колебания тонкой упругой пластинки, отличаются от уравнений колебания мембраны, поскольку пластинка обладает собственной жесткостью, в то время как мембрана мягкая и пружинит лишь за счет натяжения внешними силами. Однако здесь тоже существуют наборы нормальных колебаний, рисунки которых существенным образом зависят от формы границ.
Фигуры Хладни
Как было сказано выше, в общем случае колебания тела представляют собой комбинацию целого набора возбужденных в нем нормальных колебаний. Явление резонанса позволяет выборочно возбудить какое-то одно нужное нам нормальное колебание – для этого следует раскачивать тело при помощи внешней силы с частотой, равной собственной частоте нормального колебания.
На двух видео ниже показана типичная схема получения фигур Хладни: упругая пластинка прикрепляется в центре к генератору механических колебаний, частоту которых плавно увеличивают. Нормальные колебания пластинки со своими картинами узлов и пучностей возбуждаются при резонансном совпадении частоты генератора с собственными частотами этих колебаний

 


Бином Ньютона - формула.

Формула бинома Ньютона для натуральных n имеет вид  , где   - биномиальные коэффициенты, представляющие из себя сочетания из n по k, k=0,1,2,…,n, а "!" – это знак факториала).
К примеру, известная формула сокращенного умножения "квадрат суммы" вида   есть частный случай бинома Ньютона при n=2.
Выражение, которое находится в правой части формулы бинома Ньютона, называют разложением выражения (a+b)n, а выражение   называют (k+1)-ым членом разложения, k=0,1,2,…,n.
Коэффициенты бинома Ньютона, свойства биномиальных коэффициентов, треугольник Паскаля.

Треугольник Паскаля.
Биномиальные коэффициенты для различных n удобно представлять в виде таблицы, которая называется арифметический треугольник Паскаля. В общем виде треугольник Паскаля имеет следующий вид:
 
Треугольник Паскаля чаще встречается в виде значений коэффициентов бинома Ньютона для натуральных n:

 
Боковые стороны треугольника Паскаля состоят из единиц. Внутри треугольника Паскаля стоят числа, получающиеся сложением двух соответствующих чисел над ним. Например, значение десять (выделено красным) получено как сумма четверки и шестерки (выделены голубым). Это правило справедливо для всех внутренних чисел, составляющих треугольник Паскаля, и объясняется свойствами коэффициентов бинома Ньютона.
Свойства биномиальных коэффициентов.
Для коэффициентов бинома Ньютона справедливы следующие свойства:
• коэффициенты, равноудаленные от начала и конца разложения, равны между собой  , p=0,1,2,…,n;
• ;
• сумма биномиальных коэффициентов равна числу 2, возведенному в степень, равную показателю степени бинома Ньютона:  ;
• сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах.
Первые два свойства являются свойствами числа сочетаний.
Доказательство формулы бинома Ньютона.
Приведем доказательство формулы бинома Ньютона, то есть докажем справедливость равенства  .
Воспользуемся для доказательства методом математической индукции.
1. Проверим справедливость разложения для какого-нибудь n, допустим, для n = 3.
 
Получили верное равенство.
2. Предположим, что равенство верно для n-1, то есть, что справедливо равенство  .
3. Докажем, что верно равенство  , основываясь на предположении второго пункта.
Поехали!
 
Раскрываем скобки
 
Группируем слагаемые
 
Так как   и  , то  ; так как   и  , то  ; более того, используя свойство сочетаний  , получим
 
Подставив эти результаты в полученное выше равенство
 
придем к формуле бинома Ньютона  .
Этим доказана формула бинома Ньютона.
Бином Ньютона - применение при решении примеров и задач.
Рассмотрим подробные решения примеров, в которых применяется формула бинома Ньютона.
Пример.
Напишите разложение выражения (a+b)5 по формуле бинома Ньютона.
Решение.
Смотрим на строку треугольника Паскаля, соответствующую пятой степени. Биномиальными коэффициентами будут числа 1, 5, 10, 10, 5, 1. Таким образом, имеем  .
Пример.
Найдите коэффициент бинома Ньютона для шестого члена разложения выражения  .
Решение.
В нашем примере n=10, k=6-1=5. Таким образом, мы можем вычислить требуемый биномиальный коэффициент:
 
В заключении рассмотрим пример, в котором использование бинома Ньютона позволяет доказать делимость выражения на заданное число.
Пример.
Доказать, что значение выражения  , где n – натуральное число, делится на 16 без остатка.
Решение.
Представим первое слагаемое выражение как   и воспользуемся формулой бинома Ньютона:
 
Полученное произведение доказывает делимость исходного выражения на 16.

Теорема Пифагора
 
Схема, объясняющая доказательство теоремы Пифагора через равнодополняемость[;].
Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника: сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы.
Соотношение в том или ином виде предположительно было известно различным древним цивилизациям задолго до нашей эры; первое геометрическое доказательство приписывается Пифагору. Утверждение появляется как Предложение 47 в «Началах» Евклида[;].
Также может быть выражена как геометрический факт о том, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах. Верно и обратное утверждение[;]: треугольник, сумма квадратов длин двух сторон которого равна квадрату длины третьей стороны, является прямоугольным.
Существует ряд обобщений данной теоремы[;] — для произвольных треугольников, для фигур в пространствах высших размерностей. В неевклидовых геометриях теорема не выполняется[;].
История
По мнению историка математики Морица Кантора, в Древнем Египте во времена царя Аменемхета I (около XXIII век до н. э.) было известно о прямоугольном треугольнике со сторонами 3, 4, 5 — его использовали гарпедонапты — «натягиватели верёвок»[1]. В древневавилонском тексте, относимом ко временам Хаммурапи (XX век до н. э.), приведено приближённое вычисление гипотенузы[2]. По мнению Ван-дер-Вардена, очень вероятно, что соотношение в общем виде было известно в Вавилоне уже около XVIII века до н. э.
 
Рисунок из книги Чжоу би суань цзин (500—200 лет до нашей эры)
В древнекитайской книге «Чжоу би суань цзин», относимой к периоду V—III веков до н. э., приводится треугольник со сторонами 3, 4 и 5, притом изображение можно трактовать как графическое обоснование соотношения теоремы[3]. В китайском сборнике задач «Математика в девяти книгах» (X—II веков до н. э.) применению теоремы посвящена отдельная книга.
Общепринято, что доказательство соотношения дано древнегреческим философом Пифагором (570—490 до н. э.). Имеется свидетельство Прокла (412—485 н. э.), что Пифагор использовал алгебраические методы, чтобы находить пифагоровы тройки[;][4], но при этом в течение пяти веков после смерти Пифагора прямых упоминаний о доказательстве его авторства не находится. Однако, когда такие авторы, как Плутарх и Цицерон, пишут о теореме Пифагора, из содержания следует, будто авторство Пифагора общеизвестно и несомненно[5][6]. Существует предание, сообщённое Диогеном Лаэртским, согласно которому Пифагор якобы отпраздновал открытие своей теоремы гигантским пиром, заклав на радостях сотню быков[7].
Приблизительно в 400 году до н. э., согласно Проклу, Платон дал метод нахождения пифагоровых троек, сочетающий алгебру и геометрию. Около в 300 года до н. э. в «Началах» Евклида появилось старейшее аксиоматическое доказательство теоремы Пифагора[8].
Формулировки
 
Сумма площадей квадратов, опирающихся на катеты   и  , равна площади квадрата, построенного на гипотенузе 
Основная формулировка содержит алгебраические действия — в прямоугольном треугольнике, длины катетов которого равны   и  , а длина гипотенузы —  , выполнено соотношение:
 .
Возможна и эквивалентная геометрическая формулировка, прибегающая к понятию площади фигуры: в прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах. В таком виде теорема сформулирована в Началах Евклида.
Обратная теорема Пифагора — утверждение о прямоугольности всякого треугольника, длины сторон которого связаны соотношением  . Как следствие, для всякой тройки положительных чисел  ,   и  , такой, что  , существует прямоугольный треугольник с катетами   и   и гипотенузой  .
Доказательства
В научной литературе зафиксировано не менее 400 доказательств теоремы Пифагора[9], что объясняется как фундаментальным значением для геометрии, так и элементарностью результата. Основные направления доказательств: алгебраическое использование соотношений элементов треугольника (таков, например, популярный метод подобия[;]), метод площадей[;], существуют также различные экзотические доказательства (например, с помощью дифференциальных уравнений).
Через подобные треугольники[править | править код]
 
Одним из наиболее популярных в учебной литературе доказательств алгебраической формулировки является доказательство с использованием техники подобия треугольников, при этом оно почти непосредственно выводится из аксиом и не задействует понятие площади фигуры. В нём для треугольника   с прямым углом при вершине   со сторонами  , противолежащими вершинам   соответственно, проводится высота  , при этом (согласно признаку подобия по равенству двух углов) возникают соотношения подобия:   и  , из чего непосредственно следуют соотношения:
 ;  .
При перемножении крайних членов пропорций выводятся равенства:
 ;  ,
покомпонентное сложение которых даёт требуемый результат:
Гиперболический треугольник
В геометрии Лобачевского для прямоугольного треугольника со сторонами   со стороной  , противолежащей прямому углу, соотношение между сторонами будет следующим[23]:
 ,
где   — гиперболический косинус[24]. Эта формула является частным случаем гиперболической теоремы косинусов, которая справедлива для всех треугольников[25]:
 ,
где   — угол, вершина которого противоположна стороне  .
Используя ряд Тейлора для гиперболического косинуса ( ) можно показать, что если гиперболический треугольник уменьшается (то есть, когда  ,   и   стремятся к нулю), то гиперболические соотношения в прямоугольном треугольнике приближаются к соотношению классической теоремы Пифагора.
Применение
Расстояние в двумерных прямоугольных системах[править | править код]
Важнейшее применение теоремы Пифагора — определение расстояния между двумя точками в прямоугольной системе координат: расстояние   между точками с координатами   и   равно:
 .
Для комплексных чисел теорема Пифагора даёт естественную формулу для нахождения модуля комплексного числа — для   он равен длине радиус-вектора на комплексной плоскости к точке  :
 .
Расстояние между комплексными числами   и   также представляется в форме теоремы Пифагора[26]:
 .
Евклидова метрика
Евклидова метрика — функция расстояния в евклидовых пространствах, определяемая по теореме Пифагора, непосредственным её примененем в двумерном случае, и последовательным в многомерном; для точек  -мерного пространства   и   расстояние   между ними определяется следующим образом:
 .
Теория чисел
Пифагорова тройка — набор из трёх натуральных чисел  , которые могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника, то есть натуральные числа, удовлетворяющие диофантову уравнению  . Пифагоровы тройки играют важную роль в теории чисел, задача их эффективного нахождения породила широкий пласт работ начиная с древнейших времён вплоть до современности. Формулировка Великой теоремы Ферма аналогична задаче нахождения пифагоровых троек для степени более 2.
Доказательства методом площадей
Большое число доказательств задействуют понятие площади. Несмотря на видимую простоту многих из них, такие доказательства используют свойства площадей фигур, доказательства которых сложнее доказательства самой теоремы Пифагора.
Доказательство через равнодополняемость
 
Схема доказательства через равнодополняемость.
 
Доказательство через равнодополняемость использует четыре копии прямоугольного треугольника с катетами   и гипотенузой  , расположенные таким образом, чтобы образовывать квадрат со стороной   и внутренний четырёхугольник со сторонами длиной  . Внутренний четырёхугольник в этой конфигурации является квадратом, так как сумма двух противоположных прямому острых углов — 90°, а развёрнутый угол — 180°. Площадь внешнего квадрата равна  , он состоит из внутреннего квадрата площадью   и четырёх прямоугольных треугольников, каждый площадью  , в результате из соотношения   при алгебраическом преобразовании следует утверждение теоремы.
Доказательство Евклида
 
 
Чертёж к доказательству Евклида. Основное направление доказательства — установление конгруэнтности  , площадь которых составляет половину площади прямоугольников   и   соответственно.
Классическое доказательство Евклида направлено на установление равенства площадей между прямоугольниками, образованными из рассечения квадрата над гипотенузой высотой из прямого угла с квадратами над катетами.
Конструкция, используемая для доказательства следующая: для прямоугольного треугольника   с прямым углом  , квадратов над катетами   и   и квадрата над гипотенузой   строится высота   и продолжающий её луч  , разбивающий квадрат над гипотенузой на два прямоугольника   и  . Доказательство нацелено на установление равенства площадей прямоугольника   с квадратом над катетом  ; равенство площадей второго прямоугольника, составляющего квадрат над гипотенузой, и прямоугольника над другим катетом устанавливается аналогичным образом.
Равенство площадей прямоугольника   и   устанавливается через конгруэнтность треугольников   и  , площадь каждого из которых равна половине площади квадратов   и   соответственно в связи со следующим свойством: площадь треугольника равна половине площади прямоугольника, если у фигур есть общая сторона, а высота треугольника к общей стороне является другой стороной прямоугольника. Конгруэнтность треугольников следует из равенства двух сторон (стороны квадратов) и углу между ними (составленного из прямой угла и угла при  .
Таким образом, доказательством устанавливается, что площадь квадрата над гипотенузой, составленного из прямоугольников   и  , равна сумме площадей квадратов над катетами.
Доказательство Леонардо да Винчи
 
Чертёж к доказательству Леонардо да Винчи
К методу площадей относится также доказательство, найденное Леонардо да Винчи. Пусть дан прямоугольный треугольник   с прямым углом   и квадраты  ,   и   (см. рисунок). В этом доказательстве на стороне  последнего во внешнюю сторону строится треугольник, конгруэнтный  , притом отражённый как относительно гипотенузы, так и относительно высоты к ней (то есть   и  ). Прямая   разбивает квадрат, построенный на гипотенузе на две равные части, поскольку треугольники   и   равны по построению. Доказательство устанавливает конгруэнтность четырёхугольников   и  , площадь каждого из которых, оказывается, с одной стороны, равной сумме половин площадей квадратов на катетах и площади исходного треугольника, с другой стороны — половине площади квадрата на гипотенузе плюс площадь исходного треугольника. Итого, половина суммы площадей квадратов над катетами равна половине площади квадрата над гипотенузой, что равносильно геометрической формулировке теоремы Пифагора.
Доказательство методом бесконечно малых
 
Доказательство методом бесконечно малых
Существует несколько доказательств, прибегающих к технике дифференциальных уравнений. В частности, Хардиприписывается доказательство, использующее бесконечно малые приращения катетов   и   и гипотенузы  , и сохраняющие подобие с исходным прямоугольником, то есть, обеспечивающие выполнение следующих дифференциальных соотношений:
 ,  . 
Методом разделения переменных из них выводится дифференциальное уравнение  , интегрирование которого даёт соотношение  . Применение начальных условий   определяет константу как 0, что в результате даёт утверждение теоремы.
Квадратичная зависимость в окончательной формуле появляется благодаря линейной пропорциональности между сторонами треугольника и приращениями, тогда как сумма связана с независимыми вкладами от приращения разных катетов.
Вариации и обобщения
Подобные геометрические фигуры на трёх сторонах[править | править код]
    
Обобщение для подобных треугольников, площадь зеленых фигур равны площади синей.
 
Теорема Пифагора с использованием подобных прямоугольных треугольников.
Важное геометрическое обобщение теоремы Пифагора дал Евклид в «Началах», перейдя от площадей квадратов на сторонах к площадям произвольных подобных геометрических фигур[10]: сумма площадей таких фигур, построенных на катетах, будет равна площади подобной им фигуры, построенной на гипотенузе.
Главная идея этого обобщения заключается в том, что площадь подобной геометрической фигуры пропорциональна квадрату любого своего линейного размера и в частности квадрату длины любой стороны. Следовательно, для подобных фигур с площадями  ,   и  , построенных на катетах с длинами   и   и гипотенузе   соответственно, имеет место соотношение:
 .
Так как по теореме Пифагора  , то выполнено  .
Кроме того, если возможно доказать без привлечения теоремы Пифагора, что для площадей трёх подобных геометрических фигур на сторонах прямоугольного треугольника выполнено соотношение  , то с использованием обратного хода доказательства обобщения Евклида можно вывести доказательство теоремы Пифагора. Например, если на гипотенузе построить конгруэтный начальному прямоугольный треугольник площадью  , а на катетах — два подобных ему прямоугольных треугольника с площадями   и  , то оказывается, что треугольники на катетах образуются в результате деления начального треугольника его высотой, то есть сумма двух меньших площадей треугольников равна площади третьего, таким образом   и, применяя соотношение для подобных фигур, выводится теорема Пифагора.
Теорема косинусов
Основная статья: Теорема косинусов
Теорема Пифагора — это частный случай более общей теоремы косинусов, которая связывает длины сторон в произвольном треугольнике[11]:
 ,
где   — угол между сторонами   и  . Если угол равен 90°, то  , и формула упрощается до обычной теоремы Пифагора.
Произвольный треугольник
 
Обобщение, установленное Сабитом ибн Куррой. Нижний рисунок демонстрирует подобие треугольника  , подобный треугольнику  .
Существует обобщение теоремы Пифагора на произвольный треугольник, оперирующее исключительно соотношением длин сторон. Считается, что оно впервые было установлено сабийским астрономом Сабитом ибн Куррой[12]. В нём для произвольного треугольника со сторонами   в него вписывается равнобедренный треугольник с основанием на стороне  , вершиной, совпадающей с вершиной исходного треугольника, противолежащей стороне   и углами при основании, равными углу  , противолежащему стороне  . В результате образуются два треугольника, подобных исходному: первый — со сторонами  , дальней от неё боковой стороной вписанного равнобедренного треугольника, и   — части стороны  ; второй — симметрично к нему от стороны   со стороной   — соответствующей частью стороны  . В результате оказывается выполнено соотношение[13][14]:
 ,
вырождающееся в теорему Пифагора при  . Соотношение является следствием подобия образованных треугольников:
 . 
Теорема Паппа о площадях
Теорема Паппа о площадях, позволяющая для произвольного треугольника и произвольных параллелограммов на двух его сторонах построить параллелограмм на третьей стороне таким образом, чтобы его площадь была равна сумме площадей двух заданных параллелограммов, также может быть рассмотрена как обобщение теоремы Пифагора[15]: в случае, когда исходный треугольник — прямоугольный, а на катетах в качестве параллелограммов заданы квадраты, квадрат, построенный на гипотенузе оказывается удовлетворяющим условиям теоремы Паппа о площадях.
Многомерные обобщения
Обобщением теоремы Пифагора для трёхмерного евклидова пространства является теорема де Гуа: если тетраэдр имеет прямой угол, то квадрат площади грани, лежащей напротив прямого угла, равен сумме квадратов площадей других трёх граней. Этот вывод может быть обобщен и как «n-мерная теорема Пифагора» для евклидовых пространств высших размерностей[16] — для граней ортогонального  -мерного симплекса с площадями   ортогональных граней и противолежащей им грани площадью  выполнено соотношение:
 .
Ещё одно многомерное обобщение возникает из задачи нахождения квадрата длины диагонали прямоугольного параллелепипеда: для её вычисления необходимо дважды применить теорему Пифагора, в результате она составит сумму квадратов длин трёх смежных сторон параллелепипеда. В общем случае, длина диагонали  -мерного прямоугольного параллелепипеда со смежными сторонами с длинами   составляет:
 ,
как и в трёхмерном случае, результат является следствием последовательного применения теоремы Пифагора к прямоугольным треугольникам в перпендикулярных плоскостях.
Обобщением теоремы Пифагора для бесконечномерного пространства является равенство Парсеваля[17].
Неевклидова геометрия
Теорема Пифагора выводится из аксиом евклидовой геометрии и недействительна для неевклидовой геометрии[18] — выполнение теоремы Пифагора равносильно постулату Евклида о параллельности[19][20].
В неевклидовой геометрии соотношение между сторонами прямоугольного треугольника обязательно будет в форме, отличной от теоремы Пифагора. Например, в сферической геометрии все три стороны прямоугольного треугольника, которые ограничивают собой октант единичной сферы, имеют длину  , что противоречит теореме Пифагора.
При этом теорема Пифагора справедлива в гиперболической и эллиптической геометрии, если требование о прямоугольности треугольника заменить условием, что сумма двух углов треугольника должна равняться третьему[21].
Сферическая геометрия
Основная статья: Сферическая теорема Пифагора
 
Сферический треугольник
Для любого прямоугольного треугольника на сфере радиусом   (например, если угол   в треугольнике прямой) со сторонами   соотношение между сторонами имеет вид[22]:
 . 
Это равенство может быть выведено как особый случай сферической теоремы косинусов, которая справедлива для всех сферических треугольников:
 .
Применяя ряд Тейлора в функции косинуса ( ) можно показать, что если радиус   стремится к бесконечности, а аргументы  ,   и   стремятся к нулю, то сферическое соотношение между сторонами в прямоугольном треугольнике приближается к теореме Пифагора.
Геометрия Лобачевского

Пи (число)
Иррациональные числа
; — ;(3) — ; — ;2 — ;3 — ;5 — ; — ; — e — ; — ;
Система счисления Оценка числа {\displaystyle \pi } \pi
Десятичная 3,1415926535897932384626433832795…
Двоичная 11,00100100001111110110…
Шестнадцатеричная 3,243F6A8885A308D31319…
Шестидесятеричная 3; 08 29 44 00 47 25 53 07 …
Рациональные приближения 22;7, 223;71, 333;106, 355;113, 103 993;33 102 (перечислено в порядке увеличения точности)
Непрерывная дробь [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, … ]
(Эта непрерывная дробь не периодическая. Записана в линейной нотации)

Тригонометрия {\displaystyle \pi } \pi  радиан = 180°
3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989

История числа {\displaystyle \pi } \pi  шла параллельно с развитием всей математики. Некоторые авторы разделяют весь процесс на 3 периода:[источник не указан 70 дней] древний период, в течение которого {\displaystyle \pi } \pi  изучалось с позиции геометрии, классическая эра, последовавшая за развитием математического анализа в Европе в XVII веке, и эра цифровых компьютеров.

Геометрический период[править | править код]
То, что отношение длины окружности к диаметру одинаково для любой окружности, и то, что это отношение немногим более 3, было известно ещё древнеегипетским, вавилонским, древнеиндийским и древнегреческим геометрам, древнейшие приближения относятся к третьему тысячелетию до н. э. В Древнем Вавилоне принимали {\displaystyle \pi } \pi  равным трём. При этом оно определялось через формулу: площадь круга равна квадрату длины окружности, делённому на 12.[11]

Самые ранние из известных приближений, отличных от числа 3, датируются ок. 1900 года до н. э.: это 25/8 (глиняная табличка из Суз периода Старовавилонского царства)[12] и 256/81 (египетский папирус Ахмеса периода Среднего царства); оба значения отличаются от истинного не более, чем на 1 %. Ведийский текст «Шатапатха-брахмана» даёт {\displaystyle \pi } \pi  как 339/108 ; 3,139.

В священных книгах джайнизма, написанных за 5-6 веков до н. э., обнаружено, что тогда в Индии {\displaystyle \pi } \pi  принимали равным {\displaystyle {\sqrt {10}}} {\sqrt {10}}[13]

Archimedes pi.svg

Алгоритм Лю Хуэя для вычисления {\displaystyle \pi } \pi
Архимед, возможно, первым предложил математический способ вычисления {\displaystyle \pi } \pi . Для этого он вписывал в окружность и описывал около неё правильные многоугольники. Принимая диаметр окружности за единицу, Архимед рассматривал периметр вписанного многоугольника как нижнюю оценку длины окружности, а периметр описанного многоугольника как верхнюю оценку. Рассматривая правильный 96-угольник, Архимед получил оценку {\displaystyle 3+{\frac {10}{71}}<\pi <3+{\frac {1}{7}}} 3+{\frac {10}{71}}<\pi <3+{\frac {1}{7}} и предложил для приближенного вычисления {\displaystyle \pi } \pi  верхнюю из найденных им границ — 22/7 ; 3,142857142857143. Следующее приближение в европейской культуре связано с астрономом Клавдием Птолемеем (ок. 100 — ок. 170), который создал таблицу хорд с шагом в полградуса, что позволило ему получить для {\displaystyle \pi } \pi  приближение 377/120, равное приближённо вычисленной им половине периметра 720-угольника, вписанного в единичную окружность.[14] Леонардо Пизанский (Фибоначчи) в книге «Practica Geometriae» (около 1220 г.), видимо, принимая приближение Птолемея за нижнюю границу для {\displaystyle \pi } \pi , приводит свое приближение — 864/275.[15] Но оно оказывается хуже, чем у Птолемея, поскольку последний ошибся при определении длины хорды в полградуса в большую сторону, в результате чего приближение 377/120 оказалось верхней границей для {\displaystyle \pi } \pi .

В Индии Ариабхата и Бхаскара использовали приближение 3,1416. Варахамихира в 6 веке пользуется в «Панча-сиддхантике» приближением {\displaystyle {\sqrt {10}}} {\sqrt {10}}.

Около 265 года н. э. математик Лю Хуэй из царства Вэй предоставил простой и точный итеративный алгоритм (англ. Liu Hui's ; algorithm) для вычисления {\displaystyle \pi } \pi  с любой степенью точности. Он самостоятельно провёл вычисление для 3072-угольника и получил приближённое значение для {\displaystyle \pi } \pi  по следующему принципу:

{\displaystyle \pi \approx A_{3072}={3\cdot 2^{8}\cdot {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+1}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\approx 3,14159.} \pi \approx A_{3072}={3\cdot 2^{8}\cdot {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+1}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\approx 3,14159.
Позднее Лю Хуэй придумал быстрый метод вычисления {\displaystyle \pi } \pi  и получил приближённое значение 3,1416 только лишь с 96-угольником, используя преимущества того факта, что разница в площади следующих друг за другом многоугольников формирует геометрическую прогрессию со знаменателем 4.

В 480-х годах китайский математик Цзу Чунчжи продемонстрировал, что {\displaystyle \pi } \pi  ; 355/113, и показал, что 3,1415926 < {\displaystyle \pi } \pi  < 3,1415927, используя алгоритм Лю Хуэя применительно к 12288-угольнику. Это значение оставалось самым точным приближением числа {\displaystyle \pi } \pi  в течение последующих 900 лет.

Классический период[править | править код]
До II тысячелетия было известно не более 10 цифр {\displaystyle \pi } \pi . Дальнейшие крупные достижения в изучении {\displaystyle \pi } \pi  связаны с развитием математического анализа, в особенности с открытием рядов, позволяющих вычислить {\displaystyle \pi } \pi  с любой точностью, суммируя подходящее количество членов ряда. В 1400-х годах Мадхава из Сангамаграмы нашёл первый из таких рядов:

{\displaystyle {\pi }={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+\cdots } {\pi }={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+\cdots
Этот результат известен как ряд Мадхавы — Лейбница, или ряд Грегори — Лейбница (после того как он был заново обнаружен Джеймсом Грегори и Готфридом Лейбницем в XVII веке). Однако этот ряд сходится к {\displaystyle \pi } \pi  очень медленно, что приводит к сложности вычисления многих цифр числа на практике — необходимо сложить около 4000 членов ряда, чтобы улучшить оценку Архимеда. Однако преобразованием этого ряда в

{\displaystyle \pi ={\sqrt {12}}\,\left(1-{\frac {1}{3\cdot 3}}+{\frac {1}{5\cdot 3^{2}}}-{\frac {1}{7\cdot 3^{3}}}+\cdots \right)} \pi ={\sqrt {12}}\,\left(1-{\frac {1}{3\cdot 3}}+{\frac {1}{5\cdot 3^{2}}}-{\frac {1}{7\cdot 3^{3}}}+\cdots \right)
Мадхава смог вычислить {\displaystyle \pi } \pi  как 3,14159265359, верно определив 11 цифр в записи числа. Этот рекорд был побит в 1424 году персидским математиком Джамшидом ал-Каши, который в своём труде под названием «Трактат об окружности» привёл 17 цифр числа {\displaystyle \pi } \pi , из которых 16 верные.

Первым крупным европейским вкладом со времён Архимеда был вклад голландского математика Людольфа ван Цейлена, затратившего десять лет на вычисление числа {\displaystyle \pi } \pi  с 20-ю десятичными цифрами (этот результат был опубликован в 1596 году). Применив метод Архимеда, он довёл удвоение до n-угольника, где n = 60·229. Изложив свои результаты в сочинении «Об окружности» («Van den Circkel»), Лудольф закончил его словами: «У кого есть охота, пусть идёт дальше». После смерти в его рукописях были обнаружены ещё 15 точных цифр числа {\displaystyle \pi } \pi . Лудольф завещал, чтобы найденные им знаки были высечены на его надгробном камне. В честь него число {\displaystyle \pi } \pi  иногда называли «лудольфовым числом» или «константой Лудольфа».

Примерно в это же время в Европе начали развиваться методы анализа и определения бесконечных рядов. Первым таким представлением была формула Виета для приближения числа ; (англ.)русск.:

{\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdot \cdots } {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdot \cdots ,
найденная Франсуа Виетом в 1593 году. Другим известным результатом стала формула Валлиса:

{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots } {\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ,
выведенная Джоном Валлисом в 1655 году.

Аналогичные произведения:

{\displaystyle \pi =3\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2}-\left({\frac {1}{3}}\right)^{2}}}} \pi =3\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2}-\left({\frac {1}{3}}\right)^{2}}} {\displaystyle \pi ={\frac {3}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2}-\left({\frac {2}{3}}\right)^{2}}}} \pi ={\frac {3}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2}-\left({\frac {2}{3}}\right)^{2}}} {\displaystyle \pi =4\cdot {\frac {\sqrt {2}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2}-\left({\frac {1}{4}}\right)^{2}}}} \pi =4\cdot {\frac {\sqrt {2}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2}-\left({\frac {1}{4}}\right)^{2}}} {\displaystyle \pi ={\frac {4}{3}}\cdot {\frac {\sqrt {2}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2}-\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}}}} \pi ={\frac {4}{3}}\cdot {\frac {\sqrt {2}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2}-\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}}} {\displaystyle \pi =6\cdot {\frac {1}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2}-\left({\frac {1}{6}}\right)^{2}}}} \pi =6\cdot {\frac {1}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2}-\left({\frac {1}{6}}\right)^{2}}} {\displaystyle \pi ={\frac {6}{5}}\cdot {\frac {1}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2}-\left({\frac {5}{6}}\right)^{2}}}} \pi ={\frac {6}{5}}\cdot {\frac {1}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2}-\left({\frac {5}{6}}\right)^{2}}} {\displaystyle \pi =4\cdot \prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}+k}{k^{2}+k+{\frac {1}{4}}}}} \pi =4\cdot \prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}+k}{k^{2}+k+{\frac {1}{4}}}} {\displaystyle \pi ={\frac {9}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}+k}{k^{2}+k+{\frac {2}{9}}}}} \pi ={\frac {9}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}+k}{k^{2}+k+{\frac {2}{9}}}} {\displaystyle \pi ={\frac {16}{3}}\cdot {\frac {\sqrt {2}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}+k}{k^{2}+k+{\frac {3}{16}}}}} \pi ={\frac {16}{3}}\cdot {\frac {\sqrt {2}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}+k}{k^{2}+k+{\frac {3}{16}}}} {\displaystyle \pi ={\frac {36}{5}}\cdot {\frac {1}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}+k}{k^{2}+k+{\frac {5}{36}}}}} \pi ={\frac {36}{5}}\cdot {\frac {1}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}+k}{k^{2}+k+{\frac {5}{36}}}}

Произведение, доказывающее родственную связь с числом Эйлера e:

{\displaystyle \pi =2{\sqrt {3}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(2k-1\right)^{{\frac {1}{2}}-k}\left(2k+3\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}{2k+1}}\left({\frac {k}{k+1}}\right)^{2k}} \pi =2{\sqrt {3}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(2k-1\right)^{{\frac {1}{2}}-k}\left(2k+3\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}{2k+1}}\left({\frac {k}{k+1}}\right)^{2k}

В Новое время для вычисления {\displaystyle \pi } \pi  используются аналитические методы, основанные на тождествах. Перечисленные выше формулы малопригодны для вычислительных целей, поскольку либо используют медленно сходящиеся ряды, либо требуют сложной операции извлечения квадратного корня.

Первый эффективный и современный способ нахождения числа ; (а также натуральных логарифмов и других функций), основанный на развитой им теории рядов и математического анализа, дал в 1676 году Исаак Ньютон во втором письме к Ольденбургу[16], разлагая в ряд {\displaystyle \mathrm {arctg} {\frac {1}{2}}} {\displaystyle \mathrm {arctg} {\frac {1}{2}}}. На основе этого метода наиболее эффективную формулу нашёл в 1706 году Джон Мэчин (англ. John Machin)

{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\,\mathrm {arctg} {\frac {1}{5}}-\mathrm {arctg} {\frac {1}{239}}} {\frac {\pi }{4}}=4\,\mathrm {arctg} {\frac {1}{5}}-\mathrm {arctg} {\frac {1}{239}}
Разложив арктангенс в ряд Тейлора

{\displaystyle \mathrm {arctg} \ x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots } \mathrm {arctg} \ x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots ,
можно получить быстро сходящийся ряд, пригодный для вычисления числа {\displaystyle \pi } \pi  с большой точностью.

Формулы такого типа, в настоящее время известные как формулы Мэчина (англ. Machin-like formula), использовались для установки нескольких последовательных рекордов и остались наилучшими из известных методов для быстрого вычисления {\displaystyle \pi } \pi  в эпоху компьютеров. Выдающийся рекорд был поставлен феноменальным счетчиком Иоганном Дазе (англ. Johann Dase), который в 1844 году по распоряжению Гаусса применил формулу Мэчина для вычисления 200 цифр {\displaystyle \pi } \pi [источник не указан 1051 день]. Наилучший результат к концу XIX века был получен англичанином Вильямом Шенксом (англ. William Shanks), у которого ушло 15 лет для того, чтобы вычислить 707 цифр, хотя из-за ошибки только первые 527 были верными. Чтобы избежать подобных ошибок, современные вычисления подобного рода проводятся дважды. Если результаты совпадают, то они с высокой вероятностью верные. Ошибку Шенкса обнаружил один из первых компьютеров в 1948 году; он же за несколько часов подсчитал 808 знаков {\displaystyle \pi } \pi .

Теоретические достижения в XVIII веке привели к постижению природы числа {\displaystyle \pi } \pi , чего нельзя было достичь лишь только с помощью одного численного вычисления. Иоганн Генрих Ламберт доказал иррациональность {\displaystyle \pi } \pi  в 1761 году, а Адриен Мари Лежандр в 1774 году доказал иррациональность {\displaystyle \pi ^{2}} \pi ^{2}. В 1735 году была установлена связь между простыми числами и {\displaystyle \pi } \pi , когда Леонард Эйлер решил знаменитую Базельскую проблему — проблему нахождения точного значения

{\displaystyle {\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots } {\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ,
которое оказалось равно {\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}} {\frac {\pi ^{2}}{6}}. И Лежандр, и Эйлер предполагали, что {\displaystyle \pi } \pi  может быть трансцендентным, что было в конечном итоге доказано в 1882 году Фердинандом фон Линдеманом.

Считается, что книга Уильяма Джонса «Новое введение в математику» c 1706 года первая ввела в использование греческую букву {\displaystyle \pi } \pi  для обозначения этой константы, но эта запись стала особенно популярной после того, как Леонард Эйлер принял её в 1737 году. Он писал:

Существует множество других способов отыскания длин или площадей соответствующей кривой или плоской фигуры, что может существенно облегчить практику; например, в круге диаметр относится к длине окружности как 1 к {\displaystyle \left({\frac {16}{5}}-{\frac {4}{239}}\right)-{\frac {1}{3}}\cdot \left({\frac {16}{5^{3}}}-{\frac {4}{239^{3}}}\right)+\cdots =3{,}14159\cdots =\pi } \left({\frac {16}{5}}-{\frac {4}{239}}\right)-{\frac {1}{3}}\cdot \left({\frac {16}{5^{3}}}-{\frac {4}{239^{3}}}\right)+\cdots =3{,}14159\cdots =\pi

См. также: История математических обозначений
Эра компьютерных вычислений[править | править код]
Эпоха цифровой техники в XX веке привела к увеличению скорости появления вычислительных рекордов. Джон фон Нейман и другие использовали в 1949 году ЭНИАК для вычисления 2037 цифр {\displaystyle \pi } \pi , которое заняло 70 часов. Ещё одна тысяча цифр была получена в последующие десятилетия, а отметка в миллион была пройдена в 1973 году (десяти знаков числа {\displaystyle \pi } \pi  {\displaystyle (\pi =3{,}141592653\ldots )} (\pi =3{,}141592653\ldots ), что вполне достаточно для всех практических целей)[17]. Такой прогресс имел место не только благодаря более быстрому аппаратному обеспечению, но и благодаря алгоритмам. Одним из самых значительных результатов было открытие в 1960 году быстрого преобразования Фурье, что позволило быстро осуществлять арифметические операции над очень большими числами.

В начале XX века индийский математик Сриниваса Рамануджан обнаружил множество новых формул для {\displaystyle \pi } \pi , некоторые из которых стали знаменитыми из-за своей элегантности и математической глубины. Одна из этих формул — это ряд:

{\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}} {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}.
Братьями Чудновскими в 1987 году найдена похожая на неё:

{\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {1}{426880{\sqrt {10005}}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}(-640320)^{3k}}}} {\frac {1}{\pi }}={\frac {1}{426880{\sqrt {10005}}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}(-640320)^{3k}}},
которая даёт примерно по 14 цифр на каждый член ряда. Чудновские использовали эту формулу для того, чтобы установить несколько рекордов в вычислении {\displaystyle \pi } \pi  в конце 1980-х, включая то, в результате которого в 1989 году было получено 1 011 196 691 цифр десятичного разложения. Эта формула используется в программах, вычисляющих {\displaystyle \pi } \pi  на персональных компьютерах, в отличие от суперкомпьютеров, которые устанавливают современные рекорды.

В то время как последовательность обычно повышает точность на фиксированную величину с каждым следующим членом, существуют итеративные алгоритмы, которые на каждом шагу умножают количество правильных цифр, требуя, правда, высоких вычислительных затрат на каждом из таких шагов. Прорыв в этом отношении был сделан в 1975 году, когда Ричард Брент и Юджин Саламин (англ. Eugene Salamin (mathematician)) независимо друг от друга открыли алгоритм Брента — Саламина (англ. Gauss–Legendre algorithm), который, используя лишь арифметику, на каждом шагу удваивает количество известных знаков[18]. Алгоритм состоит из установки начальных значений

{\displaystyle a_{0}=1\quad \quad \quad b_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\quad \quad \quad t_{0}={\frac {1}{4}}\quad \quad \quad p_{0}=1} a_{0}=1\quad \quad \quad b_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\quad \quad \quad t_{0}={\frac {1}{4}}\quad \quad \quad p_{0}=1
и итераций:

{\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}\quad \quad \quad b_{n+1}={\sqrt {a_{n}b_{n}}}} a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}\quad \quad \quad b_{n+1}={\sqrt {a_{n}b_{n}}}
{\displaystyle t_{n+1}=t_{n}-p_{n}(a_{n}-a_{n+1})^{2}\quad \quad \quad p_{n+1}=2p_{n}} t_{n+1}=t_{n}-p_{n}(a_{n}-a_{n+1})^{2}\quad \quad \quad p_{n+1}=2p_{n},
пока an и bn не станут достаточно близки. Тогда оценка {\displaystyle \pi } \pi  даётся формулой

{\displaystyle \pi \approx {\frac {(a_{n}+b_{n})^{2}}{4t_{n}}}.} \pi \approx {\frac {(a_{n}+b_{n})^{2}}{4t_{n}}}.
При использовании этой схемы 25 итераций достаточно для получения 45 миллионов десятичных знаков. Похожий алгоритм, увеличивающий на каждом шаге точность в четыре раза, был найден Джонатаном Боруэйном (англ. Jonathan Borwein) Питером Боруэйном (англ. Peter Borwein)[19]. При помощи этих методов Ясумаса Канада и его группа, начиная с 1980 года, установили большинство рекордов вычисления {\displaystyle \pi } \pi  вплоть до 206 158 430 000 знаков в 1999 году. В 2002 году Канада и его группа установили новый рекорд — 1 241 100 000 000 десятичных знаков. Хотя большинство предыдущих рекордов Канады были установлены при помощи алгоритма Брента — Саламина, вычисление 2002 года использовало две формулы типа мэчиновских, которые работали медленнее, но радикально снижали использование памяти. Вычисление было выполнено на суперкомпьютере Hitachi из 64 узлов с 1 терабайтом оперативной памяти, способном выполнять 2 триллиона операций в секунду.

Важным развитием недавнего времени стала формула Бэйли — Боруэйна — Плаффа, открытая в 1997 году Саймоном Плаффом (англ. Simon Plouffe) и названная по авторам статьи, в которой она впервые была опубликована[20]. Эта формула,

{\displaystyle \pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right),} \pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right),
примечательна тем, что она позволяет извлечь любую конкретную шестнадцатеричную или двоичную цифру числа {\displaystyle \pi } \pi  без вычисления предыдущих[20]. С 1998 до 2000 года распределённый проект PiHex использовал видоизменённую формулу ББП Фабриса Беллара для вычисления квадриллионного бита числа {\displaystyle \pi } \pi , который оказался нулём[21].

В 2006 году Саймон Плафф, используя PSLQ, нашёл ряд красивых формул[22]. Пусть q = e;, тогда

{\displaystyle {\frac {\pi }{24}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\left({\frac {3}{q^{n}-1}}-{\frac {4}{q^{2n}-1}}+{\frac {1}{q^{4n}-1}}\right)} {\frac {\pi }{24}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\left({\frac {3}{q^{n}-1}}-{\frac {4}{q^{2n}-1}}+{\frac {1}{q^{4n}-1}}\right)
{\displaystyle {\frac {\pi ^{3}}{180}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}\left({\frac {4}{q^{n}-1}}-{\frac {5}{q^{2n}-1}}+{\frac {1}{q^{4n}-1}}\right)} {\frac {\pi ^{3}}{180}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}\left({\frac {4}{q^{n}-1}}-{\frac {5}{q^{2n}-1}}+{\frac {1}{q^{4n}-1}}\right)
и другие вида

{\displaystyle \pi ^{k}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{k}}}\left({\frac {a}{q^{n}-1}}+{\frac {b}{q^{2n}-1}}+{\frac {c}{q^{4n}-1}}\right)} \pi ^{k}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{k}}}\left({\frac {a}{q^{n}-1}}+{\frac {b}{q^{2n}-1}}+{\frac {c}{q^{4n}-1}}\right),
где q = e;, k — нечётное число, и a, b, c — рациональные числа. Если k — вида 4m + 3, то эта формула имеет особенно простой вид:

{\displaystyle p\pi ^{k}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{k}}}\left({\frac {2^{k-1}}{q^{n}-1}}-{\frac {2^{k-1}+1}{q^{2n}-1}}+{\frac {1}{q^{4n}-1}}\right)} p\pi ^{k}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{k}}}\left({\frac {2^{k-1}}{q^{n}-1}}-{\frac {2^{k-1}+1}{q^{2n}-1}}+{\frac {1}{q^{4n}-1}}\right)
для рационального p, у которого знаменатель — число, хорошо разложимое на множители, хотя строгое доказательство ещё не предоставлено.

В августе 2009 года учёные из японского университета Цукубы рассчитали последовательность из 2 576 980 377 524 десятичных разрядов[23].

31 декабря 2009 года французский программист Фабрис Беллар на персональном компьютере рассчитал последовательность из 2 699 999 990 000 десятичных разрядов[24].

2 августа 2010 года американский студент Александр Йи и японский исследователь Сигэру Кондо (яп.)русск. рассчитали последовательность с точностью в 5 триллионов цифр после запятой[25][26].

19 октября 2011 года Александр Йи и Сигэру Кондо рассчитали последовательность с точностью в 10 триллионов цифр после запятой[27][28].

Голландский математик Брауэр в первой половине XX века привёл в качестве примера бессмысленной задачи поиск в десятичном разложении {\displaystyle \pi } \pi последовательности {\displaystyle 0123456789} 0123456789 — по его мнению, нужная для этого точность никогда не будет достигнута. В конце XX века эта последовательность была обнаружена, она начинается с 17 387 594 880-го знака после запятой[29].

Рациональные приближения[править | править код]
{\displaystyle {\frac {22}{7}}} {\frac {22}{7}} — Архимед (III век до н. э.) — древнегреческий математик, физик и инженер;
{\displaystyle {\frac {377}{120}}} {\frac {377}{120}} — Клавдий Птолемей (II век н. э.) и Ариабхата (V век н. э.) — индийский астроном и математик;
{\displaystyle {\frac {355}{113}}} {\frac {355}{113}} — Цзу Чунчжи (V век н. э.) — китайский астроном и математик.
Сравнение точности приближений:

Число Округленное значение Точность (совпадения разрядов)
{\displaystyle \pi } \pi 3,14159265…
{\displaystyle {\frac {22}{7}}} {\frac {22}{7}} 3,14285714… 2 разряда после запятой
{\displaystyle {\frac {377}{120}}} {\frac {377}{120}} 3,14166667… 3 разряда после запятой
{\displaystyle {\frac {355}{113}}} {\frac {355}{113}} 3,14159292… 6 разрядов после запятой
Нерешённые проблемы[править | править код]
Question book-4.svg
В этом разделе не хватает ссылок на источники информации.
Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена.
Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники.
Эта отметка установлена 9 декабря 2017 года.
Неизвестно, являются ли числа {\displaystyle \pi } \pi  и {\displaystyle e} e алгебраически независимыми.
Неизвестна точная мера иррациональности для чисел {\displaystyle \pi } \pi  и {\displaystyle \pi ^{2}} \pi ^{2} (но известно, что для {\displaystyle \pi } \pi  она не превышает 7,6063)[30][31].
Неизвестна мера иррациональности ни для одного из следующих чисел: {\displaystyle \pi +e,\pi -e,\pi \cdot e,{\frac {\pi }{e}},\pi ^{e},\pi ^{\sqrt {2}},\ln \pi ,\pi ^{\pi },e^{\pi ^{2}}.} \pi +e,\pi -e,\pi \cdot e,{\frac {\pi }{e}},\pi ^{e},\pi ^{\sqrt {2}},\ln \pi ,\pi ^{\pi },e^{\pi ^{2}}. Ни для одного из них неизвестно даже, является ли оно рациональным числом, алгебраическим иррациональным или трансцендентным числом[6][32][33][34][35][36].
Неизвестно, является ли {\displaystyle {^{n}\pi }} {^{n}\pi } целым числом при каком-либо положительном целом {\displaystyle n} n (см. тетрация).
Неизвестно, принадлежит ли {\displaystyle {\frac {1}{\pi }}} {\frac {1}{\pi }} к кольцу периодов.
До сих пор ничего неизвестно о нормальности числа {\displaystyle \pi } \pi ; неизвестно даже, какие из цифр 0—9 встречаются в десятичном представлении числа {\displaystyle \pi } \pi  бесконечное количество раз.
Метод иглы Бюффона[править | править код]
Основная статья: Задача Бюффона о бросании иглы
На разлинованную равноудалёнными прямыми плоскость произвольно бросается игла, длина которой равна расстоянию между соседними прямыми, так что при каждом бросании игла либо не пересекает прямые, либо пересекает ровно одну. Можно доказать, что отношение числа пересечений иглы с какой-нибудь линией к общему числу бросков стремится к {\displaystyle {\frac {2}{\pi }}} {\frac {2}{\pi }} при увеличении числа бросков до бесконечности[37]. Данный метод иглы базируется на теории вероятностей и лежит в основе метода Монте-Карло[38].

Мнемонические правила[править | править код]
Стихотворения для запоминания 8—11 знаков числа ;:

Чтобы нам не ошибаться,
Надо правильно прочесть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть.

Надо только постараться
И запомнить всё как есть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть.

Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девять, два, шесть, пять, три, пять.
Чтоб наукой заниматься,
Это каждый должен знать.

Можно просто постараться
И почаще повторять:
«Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девять, двадцать шесть и пять».

Запоминанию может помогать соблюдение стихотворного размера:

Три, четырнадцать, пятнадцать, девять два, шесть пять, три пять
Восемь девять, семь и девять, три два, три восемь, сорок шесть
Два шесть четыре, три три восемь, три два семь девять, пять ноль два
Восемь восемь и четыре, девятнадцать, семь, один

Существуют стихи, в которых первые цифры числа ; зашифрованы в виде количества букв в словах:

Это я знаю и помню прекрасно:
Пи многие знаки мне лишни, напрасны.
Доверимся знаньям громадным
Тех, пи кто сосчитал, цифр армаду.

Раз у Коли и Арины
Распороли мы перины.
Белый пух летал, кружился,
Куражился, замирал,
Ублажился,
Нам же дал
Головную боль старух.
Ух, опасен пуха дух!

— Георгий Александров

Подобные стихи существовали и в дореформенной орфографии. Например, следующее стихотворение, сочинённое преподавателем Нижегордской гимназии Шенроком[39]:

Кто и шутя и скоро пожелаетъ
Пи узнать, число ужъ знаетъ.

Стихи, облегчающие запоминание числа ;, есть и в других языках. Например, это стихотворение на французском языке позволяет запомнить 126 первых цифр числа ;.

Дополнительные факты[править | править код]
Arrange-boxes.svg
Этот раздел представляет собой неупорядоченный список разнообразных фактов о предмете статьи.
Пожалуйста, приведите информацию в энциклопедический вид и разнесите по соответствующим разделам статьи. Согласно решению Арбитражного комитета Википедии, списки предпочтительно основывать на вторичных обобщающих авторитетных источниках, содержащих критерий включения элементов в список.

Мировой рекорд по запоминанию знаков числа {\displaystyle \pi } \pi  после запятой принадлежит 21-летнему индийскому студенту Раджвиру Мина (Rajveer Meena), который в марте 2015 года воспроизвёл 70 000 знаков после запятой за 9 часов 27 минут.[40] До этого, на протяжении почти 10 лет, рекорд держался за китайцем Лю Чао, который в 2006 году в течение 24 часов и 4 минут воспроизвёл 67 890 знаков после запятой без ошибки[41][42]. В том же 2006 году японец Акира Харагути заявил, что запомнил число {\displaystyle \pi } \pi  до 100-тысячного знака после запятой[43], однако проверить это официально не удалось[44]. В России рекорд по запоминанию принадлежит Владимиру Кондрякову (13 183 знака)[45].
В штате Индиана (США) в 1897 году был выпущен Билль о числе пи, законодательно устанавливающий его значение равным 3,2[46]. Данный билль не стал законом благодаря своевременному вмешательству профессора Университета Пердью, присутствовавшего в законодательном собрании штата во время рассмотрения данного закона.
«Число Пи для гренландских китов равно трем» написано в «Справочнике китобоя» 1960-х годов выпуска[47].
Программа «супер Пи», фиксирующая время, за которое вычисляется заданное количество знаков (до 32 миллионов) числа Пи, может быть использована для тестирования производительности компьютеров.
В культуре[править | править код]
Существует художественный фильм, названный в честь числа Пи.
Неофициальный праздник «День числа пи» ежегодно отмечается 14 марта, которое в американском формате дат (месяц/день) записывается как 3.14, что соответствует приближённому значению числа {\displaystyle \pi } \pi . Считается[48], что праздник придумал в 1987 году физик из Сан-Франциско Ларри Шоу, обративший внимание на то, что 14 марта ровно в 01:59 дата и время совпадают с первыми разрядами числа Пи = 3,14159.
Ещё одной датой, связанной с числом {\displaystyle \pi } \pi , является 22 июля, которое называется «Днём приближённого числа Пи» (англ. Pi Approximation Day), так как в европейском формате дат этот день записывается как 22/7, а значение этой дроби является приближённым значением числа {\displaystyle \pi } \pi .
Символ или численный аналог 3.14 используется в эвфемистическом замещении русского мата в письменной речи в интернет-общении, в частности в слогах слов, содержащих «пи».