Что такое золотое сечение

Что такое золотое сечение и где его можно встретить

    Что является общим для красоты архитектуры, музыки, фотографии и т.д.? Разве можно сравнивать красоту храма с красотой музыкальной симфонии?  Похоже можно, при условии, что единые критерии красоты найдены. Среди различных пропорций есть одна, которая имеет уникальные свойства, она называется "золотое сечение" или "золотые пропорции".

    Золотое сечение - это деление чего-либо на две части, при котором меньшая часть относится к большей также, как большая ко всему целому. Численно, золотое сечение представляет собой бесконечную дробь, равную 1,618033... (или 0,618033... что одно и то же).

    Первое письменное упоминание о золотом сечении относится к 300 до н.э. в "Началах" Евклида. Кроме того, есть основания полагать, что Пифагор около 500 г. до н.э. знал о золотом сечении, а до него золотые пропорции применяли в древнем Египте.

    Считается, что именно золотые пропорции воспринимаются человеком, как самые гармоничные и красивые. Древние египтяне использовали их при строительстве пирамид и в дизайне иероглифов. В это же время на другом континенте, в древней Мексике, принцип золотого сечения использовался при строительстве пирамиды Солнца в Теотиуокане и храмов Майя. Греки изучали золотое сечение в математике и использовали его в своей архитектуре. Леонардо да Винчи, Микеланджело а также Бах и Бетховен использовали его в своих творениях.

    Сегодня, золотые пропорции присутствуют в кредитных картах, широкоформатных мониторах,  конвертах, во многих форматах книг.

    Однако старейшие примеры применения этого принципа, находятся в пропорциях, созданных природой. Раковины моллюсков, цветы, листья деревьев и даже человеческое тело построены с соблюдением одних и тех же пропорций на основе золотого сечения.
 
    Золотое сечение тесно связанно с рядом Фибоначчи - если разделить два соседних числа этого ряда друг на друга, получится золотое сечение. О том, что такое числа Фибоначчи, и где ещё этот принцип встречается в природе - смотрите видеоролик.

Золотое отношение и динамика развития цивилизации.

 Примечательно, что число Ф (1,618) наполняет собой все живые существа и, как можно предположить, также и отношения между ними. Следовательно, социокультурные и, в целом, цивилизационные процессы также могут быть связаны с этим отношением. Многочисленные исследователи динамики подобных процессов (П.Сорокин, Н.Кондратьев, Л.Гумилев, А.Тойнби, С.Хантингтон) с неизбежностью вторгались в мир циклов. Но всегда вставал вопрос о степени формализации исследуемых ими процессов. Предпринята попытка показать, как обсуждаемое число оказалось также и в гуще мира циклов, приведя его к единообразию.
1.
Было проведено немало экспериментов в целях выяснения человеческих предпочтений в формах и пропорциях. Открытое Евклидом число Ф (фи), равное приблизительно 1,618 и называемое "золотым отношением", оказалось искомым числом, и, как уже теперь ясно, совместимым и с человеческой психологией. Однако загадок, связанных с ним еще предостаточно. Одну из не самых последних преподнес Храм Надписей в Паленке (культура майя), где была найдена нефритовая мозаичная маска, которая закрывала лицо человека, лежавшего в саркофаге, вскрытом 15 июля 1952 года, пролежав в теле пирамиды до того не тронутым около 1250 лет. Примечательно, что показатель преломления нефрита колеблется от 1.600 до 1.627, а число Ф - это ровно 2/3 (0,666 - "число зверя") расстояния от первого числа до второго; и именно этому минералу майя отдавали предпочтения при кодировании своих секретов [1]

Примечательно, что число Ф наполняет собой все живые существа и, как можно предположить, также и отношения между ними. Следовательно, социокультурные и, в целом, цивилизационные процессы также могут быть связаны с этим замечательным отношением: (1 + 5;)/2. Многочисленные исследователи динамики подобных процессов (П.Сорокин, Н.Кондратьев, Л.Гумилев, А.Тойнби, С.Хантингтон - далеко не полный их перечень) с неизбежностью вторгались в мир циклов. Но всегда вставал вопрос о корректности используемых ими математических моделей или, более точно, о степени формализации исследуемых ими процессов: то, что не может быть строго выражено математикой, не может претендовать на истину.

Предпримем попытку показать, как обсуждаемое число оказалось также и в гуще мира циклов, приведя его к единообразию.

Нарисуем прямоугольник А так, что его стороны будут относиться между собой как 1:1,618 (рис. 1). Добавив к его большей стороне квадрат B, получим новый прямоугольник  AB с тем же свойством отношений сторон. Квадраты C, D, E и последующие построим по тем же правилам. Если теперь соединить углы всех прямоугольников (отмечены звездочками на рис. 1), то мы получим спираль (рис. 2).

Теперь представим вид полученной кривой в декартовых координатах как функцию ординаты Y от угла между горизонтальной осью и вектором, который и "вычертил" нашу спираль (рис.3).

На первый взгляд результат на какую-либо здравую идею не наводит. Однако с фрагментами полученной на рис. 3 кривой на отрезках кратных 2; мы уже встречались.
Анализируя допущение Л.Н.Гумилева о том, что динамика пассионарной энергии этнической системы (PS) подчиняется тем же законам, которые обуславливают процесс горения костра, нам пришлось отказаться как от этого допущения, так и от принципов градации историком динамики пассионарности этносистемы на фазы в попытках математически формализовать эту градацию [2]. Представляется, что более внятным основанием исчисления координат точек фазовых переходов могут служить характерные точки первой частной производной  PS от времени ; (;PS (t, n) / ;t , где  n - количество субэтносов в этносистеме).

И тогда рис.3 становится осмысленным: каждый отрезок кривой на оси абсцисс, ограниченный одним оборотом спирали "золотого отношения" (ЗО), является графическим отображением производной функции пока не ясного нам процесса на очередном цикле цивилизации.

Как же выглядит в общем случае эта "загадочная функция"? Не говорят ли выше перечисленные нами мэтры фактически об одном и том же? Не описывалась ли эта функция много ранее: в книгах Авесты, в буддийских трактатах? И сколько циклов спирали может быть; то есть: бесконечен ли процесс ее раскрутки?

2.

В тот самый момент, когда мы что-то сказали, слова наши тут же стали историей - достаточно посмотреть на секундную стрелку часов в момент окончания звучания нашей фразы: стрелка неумолимо сдвинулась вперед. Любые события, любые наши поступки становятся тут же прошлым. Следовательно, настоящего не существует вообще, оно не проявляется никак, его невозможно зафиксировать никакими приборами и никакими ухищрениями! В противном случае мы бы сказали, что нам удалось остановить время! Таким образом, настоящее - это всего лишь пограничная область событий между прошлым и будущим, как аналог непреодолимого энергетического барьера для движения электронов в закрытом  p-n-переходе полупроводникового диода. Следовательно, живя постоянно в прошлом, все минувшие события истории являются для человечества современными в том смысле, что имеют идентичный современным событиям генезис, находятся с нашим "вчера-сегодня" в одном измерении. Соответственно, слова, произнесенные тысячелетия назад архаичными вовсе не являются, а причины, породившие то или иное следствие когда-то, мало чем отличаются от сегодняшних; они нам понятны и близки.

А в качестве примера-пояснения сказанному обратимся к буддизму.

Васубандху - автор "буддийской энциклопедии" (Абхидхармакоша, V в.н.э.), в ее третьем разделе по сути описывает этапы развитии человечества на Земле и причины их смены:

"-Был ли царь у людей, живших в первой космической кальпе?

- Нет!

- Что же тогда было?

Люди, жившие в первой космической кальпе [I Раса -  А.Г.], были как обитатели мира форм. В сутре сказано: "Они имеют физическую форму, порождены разумом, обладают семи органами и членами тела без каких-либо изъянов и высокоразвитыми способностями, красивы, с приятным цветом кожи, самосветящиеся, передвигающиеся по воздуху, живущие радостью, то есть имеющие радость в качестве пищи, с долгой продолжительностью жизни, то есть живущие долго.

А затем постепенно, из-за влечения к вкусу, у этих живых существ, пребывавших в таких условиях, появился в распоряжении сок земли, по вкусу напоминающий мед. И тогда одно из этих существ, обладающее самой нетерпеливой природой, почувствовав запах сока, попробовало его на вкус и съело. Затем и другие сделали то же самое. Это и явилось началом потребления материальной пищи.

Благодаря постоянной практике потребления такой пищи тела этих живых существ стали плотными и тяжелыми, а сияние исчезло [появились люди II Расы! - А.Г.]. В результате наступила темнота, а затем появились Солнце и Луна.

Постепенно у этих существ, охваченных страстным желанием ощущать вкус, исчез также и сок земли и появился тонкий земляной пирог (земляная пена). Они стали испытывать жадное влечение и к нему, и со временем этот земляной пирог тоже исчез. Затем появились ползучие лесные растения. К ним также возникло жадное влечение, но и они исчезли.

Потом появился дикорастущий рис - стали есть и его. Поскольку он был грубого качества, для выведения шлаков у живых существ появились каналы для выделения мочи и кала, а также женские и мужские половые органы, различающиеся по форме [появились люди III Расы.  А дальнейшее изложение - перечень причин упадка лемурийской, то есть III-ей Расы - А.Г. ]. И теперь, видя друг друга, в силу прежней привычки радоваться друг другу живые существа становятся жертвой ошибочных представлений о причинах этой радости, вызвавших в дальнейшем чувственное влечение; с этого времени они деградируют. Для обитателей чувственного мира это и есть начало их одержимости злым духом желания.

Раньше живые существа вечером приносили рис для вечерней еды, а утром - для утренней. И вот одно из этих существ, будучи ленивым по природе, сделало запас. Другие, глядя на него, также начали делать запасы. И тогда у них возникло понятие "мое".

Рис, который все время продолжали срезать, перестал родиться. Поэтому, разделив между собою поля, они присвоили их и стали грабить чужие. Так появилось воровство.

Для того чтобы воспрепятствовать воровству, люди собрались и выделили из своей среды специального человека, который за шестую часть урожая должен был охранять поля. Этот хранитель полей стал называться кшатрием; так появилось понятие "кшатрий". Поскольку он был тем избранным царем, относительно которого множество людей пришли к согласию, и устраивал всех подданных, возникло наименование "Царь Махасаммата" [имя первого мифического царя, родоначальника династии царей в последней кальпе - А.Г.] Таково начало династии царей.

Тех, кто отказался от жизни в доме и избрал уединение, стали называть брахманами.

Впоследствии при одном из царей начало процветать воровство среди тех, кто из жадности не делился установленной долей. Царь использовал против них оружие. Поэтому другие стали говорить: "Мы так не поступали". Это положило начало лжи.

С тех пор при таком распространении дурного образа действий продолжительность человеческой жизни начала постепенно сокращаться, и в конце-концов стали рождаться люди, продолжительность жизни которых - только десять лет.

Следовательно, порождающие причины этого всеобщего потока бедствий и несчастий (вырождения) - две дхармы: страстное влечение к ощущению вкуса и лень"" [3].

Возникает вопрос о тождественности и неизменности во времени принципиальных представлений человека о мироустройстве на протяжении длительного периода до возникновения христианства устройству самого человека. Если бы это было так, то это бы означало, что человек V-ой (последней) Расы живет на Земле вечно и религия, как институт, также существует от века. Но это - нонсенс. В противном случае, получалось бы, что Творец создал человека в той физической оболочке, какую мы видим сейчас. Но эта форма материальности тела находится в борьбе со многими стихиями планеты: не ладит ни с водой, ни с воздушным пространством, ... Но ведь Бог есть Благий, Бог есть Любовь, и Он не мог создать что-то, что бы это что-то находилось в противоречии с чем-то другим - тем, что также было Им создано! Следовательно, первичная форма материальности человека была иной, чем сейчас, и не находилась исходно с природой в разладе (с той, с Первичной природой!). Разумным становится в этой связи предположить наличие нескольких дискретных трансформ материальности физического тела человека, результатом чего может служить фиксации в нашем сознании нескольких форм материальности homo sapiens на неких временных интервалах. Значит, был человек (точнее - существо разумное) IV-ой, III-ей,.. I-ой Расы, то есть почти Бог (мы приносим свои соболезнования Ч.Дарвину и приверженцам его теории). А зачем почти Богу религия? То есть религия возникла на Земле не сразу.
Немного ранее Васубандху люди иного арийского племени описали в одной из книг Авесты (в "Бундахишне" - "Сотворении основы") в другой стилистике - через описание этапов борьбы творца Ормазда и Ахримана (Духа Зла), - но также четыре фазы развития цивилизации [4].

И если буддийская история оказалась подвластна интерпретации современной логикой и подкрепленной также иным религиозным источником знаний, то мало остается сомнений в утверждениях приверженцев учений принца Шакьямуни и Заратуштры о четырех уже прошедших и пятом, заключительном макроцивилизационном цикле на нашей планете. Таким образом, максимальное число циклов "золотой спирали" - пять, ... чему лишним подтверждением является пятиконечная звезда - главный религиозный символ зороастрийцев.

Поясним. В кристаллографии число "пять" является запретным. Дело в том, что из пятиугольников невозможно составить кристаллическую решетку-основу любого твердого тела; она обязательно окажется с "пустотами", которые природа не терпит. В этом очень легко убедиться, вырезав из картона несколько правильных пятиугольников и попробовав их все совместить; обязательно возникнут пустоты. Эта идея оказывается провальная, но только на плоскости. Говоря иначе, звезда (описанная правильным пятиугольником) есть своеобразный символ невозможности построения жизни, т.е.  является символом смерти.

Однако футбольный мяч изготавливается из пятиугольных кожаных лоскутков правильной формы, которые прекрасно сшиваются друг с другом на шаровой оболочке без каких-либо пробелов, представляя собой как бы надутый додекаэдр, двенадцать граней которого нас так и подбивает надписать либо наименованиями знаков Зодиака, либо (что, по мнению С.И.Валянского и Д.В. Калюжного [5:168,169], - одно и тоже) именами двенадцати детей Красного Солнышка (то есть князя Владимира): именем Вышеслава -  поднимающего выше славу - созвездие Тельца, поднимающего своими рогами вверх солнце весною (апрель - начало года), ... Ярослава - яростной славы - созвездие Льва, где солнце получает жгучий жар в августе, ... Станислава -  стана славы - креститель планет Водолей (Солнце "крестится" в феврале), ... Судислава - судьи славы - Орион, то есть астрологический символ Христа.

Кстати: если Землю описать додекаэдром (что можно по А.Беляеву сделать единственным способом), то в какие именно созвездия и когда именно "заглядывают" перпендикуляры, отстроенные к двенадцати его плоскостям? - слово астрономам.

Таким образом, звезда (описанная правильным пятиугольником) одновременно является и символом смерти и символом жизни - лучшего знака для отражения дуализма доктрины зороастризма придумать было трудно! Однако нам представляется, что в этом знаке имеется более глубокий смысл: закат V-ой Расы - явление не фатальное!

И еще одно. Согласно буддийским догматам "реальность в корне лишена непрерывности. Мир то появляется, то исчезает, подобно вспышкам света". Ту же идею отстаивал и небезуспешно доказывал Тейяр де Шарден ("Феномен человека" [6]), но был быстро "утрамбован" Ватиканом трудами кардинала Дитриха фон Гильдебранда, который встретился о.Тейаром в 1951 году и отметившего тогда "абсолютную несовместимость его богословской беллетристики с христианским откровением и с учением Церкви" [7].

Однако к XXI веку уже накопился значительный архив экспериментальных данных в поддержку положений "Феномена человека"; к примеру, имеются итоги свыше четырех тысяч психоделических сеансов, проведенных на себе Станиславом Грофом и принятия им участия еще в более чем двух тысячах, в которых применялась и особая техника так называемого "холотропного дыхания" (по сути, уходящая истоком к практике исихии свв.Григория Паламы и Серафима Саровского, про которых С.Гроф, очевидно, и не слышал ничего). Русскими учеными недавно была предоставлена возможность увидеть всем телезрителям эфирное поле человека. Дискретное изменение человекоформ отстаивал в "Розе Мира" и российский радомысл Даниил Андреев [8].

Основываясь на буддийской аксиоме, на мнениях (или видениях) явно не "последних" людей планеты и на строго научных данных, можно предположить, что спираль ЗО в жизненной реальности не является непрерывной функцией. В конце каждого своего цикла (полного оборота) она стремится к нулю, но никогда его не достигает, вместе с тем начиная свой следующий цикл все же опять с нуля (как можно предположить, после очередного планетарного катаклизма и (или) пассионарного взрыва). Тогда искомая функция, дифференцируя которую мы и получаем спираль ЗО в декартовых координатах, окажется схожей по характеру своей динамики с кривой Макса Планка (которой устанавливается зависимость спектральной плотности излучения от его частоты и температуры источника). Ее то мы и взяли за основу для описания динамики пассионарной энергии этнической системы и не только ее (рис. 4).

При этом мы полагаем, что точки фазовых переходов этногенеза определяются характерными точками кривой P;, где она принимает абсолютные максимальные значения, где она пересекает ось абсцисс, а также точка, в которой вторая производная  P;; принимает максимальную положительную величину. При этом процесс этногенеза окажется поделен на фазы, число и, частично, продолжительность которых будет отличаться от предложенных Л.Н.Гумилевым в [9] и [10].

Осталось ответить на остальные вопросы, поставленные нами в первой части этой статьи, более подробно пояснить отличие наших представлений о фазовых переходах этногенеза от тех, которые отстаивал русский историк и предложить свои выводы.
3.
Предварительно стоит заметить, что математическое описание любой из циклических теорий, быть может, в разной мере, но основывается на всех трех законах Ньютона. Позволим себе их напомнить: замкнутая система продолжает оставаться в состоянии покоя или прямолинейного равномерного движения (1-ый закон); сила, действующая на систему извне, приводит к ускорению системы (2-ой); сила действия равна по модулю и противоположна по направлению силе противодействия (3-ий закон). Однако за редким исключением все "циклисты" "зацикливались" только на последнем.

Так в прошлом веке Р.Бэбсон использовал третий закона Ньютона в применении к экономической теории и финансам. И это оказалось оправданным: он был одним из немногих, кто точно предсказал дату обвала американской биржи 1929 года.

А что же те из коллег Бэбсона, кто его и подобным ему нещадно высмеивал?

Ирвинг Фишер, известнейший в мире "экономический гуру", автор "Библии монетаристов" [11] каждое слетающее слово которого моментально оказывалось в передовицах газет, 22 октября, за два дня до "черного вторника" 1929 года, публично заявил: "По-моему, появляющиеся предсказания о резком изменении курсов ценных бумаг, которое затронет общий уровень цен, не имеет под собой оснований" [12]. Нация Акционеров такого надувательства своему кумиру не простила.

Третий закон Ньютона (но не ссылаясь на него) несколько позже Роржера Бэбсона активно использовал в своих работах американский социолог, один из пассажиров ленинского "Философского парохода" П.А.Сорокин (см. его главный труд [13]) и почти синхронно с ним, но уже в области экономики при разработке теории больших циклов экономической конъюнктуры Н.Д.Кондратьев (расстрелян в 1938 году). Затем настал черед А.Тойнби (вызов-экспорт императивов поведения из западной этносистемы в иную и ответ последней, по направлению противоположный [14], [15]) и С.Хантингтона [16], чье графическое пояснение результата борьбы не западной этносистемы (цивилизации) в координатах "вестернизация - модернизация" аккурат оказалось идентичным гипотетической кривой А.Тойнби и... жалким подобием кривой динамики пассионарного напряжения этносистемы во времени Л.Н.Гумилева (трижды узник ГУЛАГа хоть и получил исключительно гуманитарное образование, но законы сына английского священника знал и использовал их все). И вот появилась новая, и уж совсем экстравагантная экпиротическая теория циклического развития Вселенной П.Стейнхардта и Н.Тюрока, в которой математически описаны многомерные пространства с четырьмя, шестью и даже одиннадцатью координатами... в точности следуя модели Вселенной Даниила Андреева.
Круг замкнулся.

На рис.5 наряду с обещанным ранее изложением своего взгляда на последовательность и общее число фаз этнической динамики (пассионарного напряжения) этносистемы мы отобразили кривую, отражающую ход борьбы идеациональной и чувственной модели общества по-Сорокину. Стоит отметить, что последняя кривая ничем в принципе не отличается от графических пояснений к своим теориям А.Тойнби, С.Хантингтона и Н.Д.Кондратьева. По нашему мнению, М.Планк и Л.Гумилев были более дотошны и объективны в анализе исходных данных при выводе своих зависимостей. В качестве обоснования этого утверждения приведем лишь один пример (из многих!).

П.А.Сорокин провел распределение мыслителей по 12-ти балльной шкале от древних времен вплоть до начала XX века [13]. В этот перечень вошло 1190 человек, которые в сколь-либо значительной мере повлияли на развитие цивилизации, являлись родоначальниками школ, течений, стояли у истоков новой культуры, прорывных направлений науки и оказались в итоге признаны земным сообществом неординарными личностями. Венчает тот список Аристотель, Кант, Платон, Плотин и Фома Аквинский; вторая группа с отрывом в два балла представлена одним только св.Августином. В третьей группе, набрав 9 баллов, оказались Дидро, Лейбниц, Ньютон, Сократ и Ницше. Русские имена появляются только в третьей группе: Толстой и Достоевский; в шестой - Лобачевский и Вл.Соловьев... Всего русских мыслителей в том списке пятнадцать, среди которых можно встретить уж совсем позабытые имена: Михайловский, Страхов, Галич, Любимов, Троицкий. Статистика, прямо скажем, грустная; тем более, если учесть, что Ломоносов смог набрать лишь 4 балла и попал, следовательно, только в восьмую группу в компании 182-х также в нее избранных; земляками в той группе оказались Аксаков, Введенский, Хомяков, Чичерин плюс члены кружка русских масонов начала XIX века.

Сей ранжир американский социолог вывел достаточно просто: в том числе по показателю цитируемости работ, то есть по количеству упоминаний имен претендентов в книгах других авторов. Признаться, логика в таком подходе имеется, но как говорил герой известного фильма: "Сумневаюсь я!"; да и поговорку вспомнить не мешало бы - "Кукушка хвалит петуха за то, что хвалит тот кукушку!". Нас, например, наповал сразило отсутствие в этом списке имени самого мистического физика всех времен - Николы Теслы, "испарение" из реестра Д.И.Менделеева и "почетное" последнее место в нем М.Планка.

В наших представлениях большинство "циклистов" просто не дотянуло до гениальной догадки физика (Планк свою кривую сначала просто нарисовал, а уже потом вывел уравнение, ее описывающее и, что называется, "попал в точку"), а также вдумчивого анализа Л.Гумилева.

Таким образом, любые сечения динамики цивилизации (культурологические, социологические, экономические, этнографические и т.п.), по нашему мнению, мало чем отличаются между собой при описании их математическими моделями и, соответственно, графическими пояснениями; у всех циклических теорий в основе лежит одно и то же "золотое отношение", и все циклы подразделяются на одни и те же фазы развития своей динамики.

Дадим небольшое пояснение к рис.5. На нем точка фазового перехода от Инерционной фазы к фазе Обскурации (P;; = + max) является "точкой невозврата", то есть моментом, когда в умах людей становится преобладающими внутренние поведенческие установки - императивы поведения: "Будь таким, как мы!", "День, да мой!", и начинает уже прореживаться девиз полного вырождения и деградации ("А нам ничего не надо!"). После входа в фазу Обскурации нация теряет всякую надежду на какие-либо серьезные положительные сдвиги в своей жизни потому, что ее пассионарная энергия, возбужденная некогда выдающимися водителями людских масс, оказывается совершенно недостаточной для каких-либо серьезных свершений; она попросту рассеялась.

"Точка невозврата" находится на расстоянии приблизительно в 1000 лет от даты запуска очередного цикла (взрыва этногенеза), который произошел в России около 1200 года н.э. (одновременно - в Литве, Малой Азии и Эфиопии). Таким образом, пессимизм в прогнозах развития страны оправдан лишь частично, шансы выбраться из пассионарной ямы еще окончательно не потеряны.

В контексте нашей темы интересен рис.6., кривые на котором являются "наследниками" спирали ЗО (изображено без масштаба!). На рисунке отражен ход динамики развития цивилизаций четырех уже сгинувших в истории Рас и нашей, пятой и последней. Все их характеристики (пики, точки фазовых переходов) оказываются позиционированы на оси времени одинаково. Но имеются и бросающиеся в глаза отличия: каждая новая цивилизация развивалась все более и более значительными темпами, возможно, вследствие того, что в окончательной точке пассионарного цикла каждой предыдущей Расы каждая последующая цивилизация теряла (забывала) все больше и больше достижений предшественников, и восстанавливать их представителям новой Расы приходилось все труднее и труднее; был просто необходим все более и более энергичный темп развития. Например, перспективы восстановления функций "3-его глаза" нашей Расой сейчас практически нереальны; некоторые "задачки" древних не решены до сих пор, к примеру, задача математического построения знака Шри Янтры, самое древнее изображение которого находится в монастыре Шрингари Матха (Srinagari Matha), основанном в VIII веке. По сообщению А.П.Кулаичева [17, 18] оказывается, что уже на первом простейшем шаге преобразований следует выполнить не менее 1011 элементарных операций, причем объем вычислений на каждом последующем шаге, по крайней мере, в 100 раз больше предыдущего. А исследование полученного результирующего уравнения требует оперирования с числами, представленными с точностью не менее четырех тысяч десятичных значащих цифр. Отсюда ясно, что такая задача далеко превосходит возможности самых мощнейших земных суперкомпьютеров, что, мягко говоря, немного озадачивает.

И лишь небольшой ряд достижений прежних Рас можно признать восстановленными: в астрономии и в специальной области медицины. Только совсем недавно удалось сделать то, о чем писал Васубандху в "Учении о Карме" [19] , причем походя, в связи с разработкой им совершенно иных проблем буддийских догматов: "- Когда одна женщина теряет зародыш, а другая принимает его в свою матку, то кто из них [считается] его матерью, убийство которой становится смертным грехом? Мать - та, из крови которой [происходит] рождение".

Людям-"полубогам" первой Расы по всей очевидности не было необходимости откуда-то круто "подниматься" и "надламываться", они Миром владели - поэтому кривая динамики развития этой людской общности практически стелется над осью времени. Но уже фразы отцов III Расы "А вот в наше время..." в силу крутизны цивилизационной динамики стали с трудом пониматься их детьми примерно так же, как теперешние школяры воспринимают совсем недавние события начала XX века исключительно в качестве "экзотики". Деды IV-ой Расы ничего внятного об эпохальных свершениях, которые происходили на динамических пиках предыдущих Рас, рассказать своим внукам не могли практически уже ничего. Но поскольку говорить что-то было надо (свой авторитет можно поддержать, в том числе, и через почтение к предкам!), то отзвуки истории (даже на уровне мифологии), частично сохраненные навыки и знания предыдущих Рас, помножаясь на фантазии и мистические образы снов, порождали зачатки религии, которые и оформились уже как исключительно имперские верования трудами интеллектуалов и гениев Духа уже нашей Расы...То есть цивилизации, в которой торгуют всем, и в которой, по выражению Ницше, "торговый дух имеет великую задачу - дать людям, не способным к полету духа, страсть, которая давала бы им широкую цель и разумное употребление дня и которая, при этом, нивелировала бы все индивидуальное. Этот торговый дух создает новую породу людей, которые играют в наше время ту же роль, какую в древности играли рабы"[20]. Призвав в сотоварищи электронные СМИ, этот дух уже близок к успеху!

Исходя из чрезвычайно крутой дороги цивилизации в пятом цикле спирали ЗО, требующей высочайшей квалификации водителей людских масс, но по факту не обладающих ею, человечество ждут только все новые и новые и все более чудовищные страдания; затем конец... если только в обществе не найдутся энергичные силы Добра (не силы ягнят, но силы волков!), которых в текущем стран(н)о-устройстве России пока не прослеживается.

21 сентября 2006 г.

Литература Земля
                Золотое сечение
      Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме
      какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а
      может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат
      сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему
      зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое
      всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном
      отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения – высшее
      проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей
      в искусстве, науке, технике и природе.
      Золотое сечение – гармоническая пропорция
      В математике пропорцией (лат. proportio) называют равенство двух
      отношений: a : b = c : d.
      Отрезок прямой АВ можно разделить на две части следующими способами:
        на две равные части – АВ : АС = АВ : ВС;
        на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не
        образуют);
        таким образом, когда АВ : АС = АС : ВС.
      Последнее и есть золотое деление или деление отрезка в крайнем и среднем
      отношении.
      Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные
      части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама
      большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок
      так относится к большему, как больший ко всему
      a : b = b : c или с : b = b : а.

      Рис. 1. Геометрическое изображение золотой пропорции
      Практическое знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка
      прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки.

      Рис. 2. Деление отрезка прямой по золотому сечению. BC = 1/2 AB; CD = BC
      Из точки В восставляется перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная
      точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается
      отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ.
      Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой
      пропорции.
      Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью AE
      = 0,618..., если АВ принять за единицу, ВЕ = 0,382... Для практических
      целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ
      принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38
      частям.
      Свойства золотого сечения описываются уравнением:
      x2 – x – 1 = 0.
      Решение этого уравнения:

      Свойства золотого сечения создали вокруг этого числа романтический ореол
      таинственности и чуть ли не мистического поклонения.
      Второе золотое сечение
      Болгарский журнал «Отечество» (№10, 1983 г.) опубликовал статью Цветана
      Цекова-Карандаша «О втором золотом сечении», которое вытекает из основного
      сечения и дает другое отношение 44 : 56.
      Такая пропорция обнаружена в архитектуре, а также имеет место при
      построении композиций изображений удлиненного горизонтального формата.

            Рис. 3. Построение второго золотого сечения Деление осуществляется
            следующим образом. Отрезок АВ делится в пропорции золотого сечения.
            Из точки С восставляется перпендикуляр СD. Радиусом АВ находится
            точка D, которая соединяется линией с точкой А. Прямой угол АСD
            делится пополам. Из точки С проводится линия до пересечения с линией
            AD. Точка Е делит отрезок AD в отношении 56 : 44.


      Рис. 4. Деление прямоугольника линией второго золотого сечения
      На рисунке показано положение линии второго золотого сечения. Она
      находится посередине между линией золотого сечения и средней линией
      прямоугольника.
      Золотой треугольник
      Для нахождения отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов
      можно пользоваться пентаграммой.

      Рис. 5. Построение правильного пятиугольника и пентаграммы
      Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник.
      Способ его построения разработал немецкий живописец и график Альбрехт
      Дюрер (1471...1528). Пусть O – центр окружности, A – точка на окружности и
      Е – середина отрезка ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА, восставленный в точке
      О, пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на
      диаметре отрезок CE = ED. Длина стороны вписанного в окружность
      правильного пятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и
      получим пять точек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем
      углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму. Все
      диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой
      золотой пропорцией.
      Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник.
      Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на
      боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения.

      Рис. 6. Построение золотого треугольника Проводим прямую АВ. От точки А
      откладываем на ней три раза отрезок О произвольной величины, через
      полученную точку Р проводим перпендикуляр к линии АВ, на перпендикуляре
      вправо и влево от точки Р откладываем отрезки О. Полученные точки d и d1
      соединяем прямыми с точкой А. Отрезок dd1 откладываем на линию Ad1,
      получая точку С. Она разделила линию Ad1 в пропорции золотого сечения.
      Линиями Ad1 и dd1 пользуются для построения «золотого» прямоугольника.

 
      История золотого сечения
      Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход
      Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть
      предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у
      египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов,
      барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона
      свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями
      золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Корбюзье
      нашел, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе,
      изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют величинам
      золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски
      из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых
      зафиксированы пропорции золотого деления.
      Греки были искусными геометрами. Даже арифметике обучали своих детей при
      помощи геометрических фигур. Квадрат Пифагора и диагональ этого квадрата
      были основанием для построения динамических прямоугольников.

      Рис. 7. Динамические прямоугольники
      Платон (427...347 гг. до н.э.) также знал о золотом делении. Его диалог
      «Тимей» посвящен математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора
      и, в частности, вопросам золотого деления.
      В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые пропорции.
      При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и
      скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также
      заложены пропорции золотого деления.

      Рис. 8. Античный циркуль золотого сечения
      В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается
      в «Началах» Евклида. Во 2-й книге «Начал» дается геометрическое построение
      золотого деления После Евклида исследованием золотого деления занимались
      Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др. В средневековой Европе с
      золотым делением познакомились по арабским переводам «Начал» Евклида.
      Переводчик Дж. Кампано из Наварры (III в.) сделал к переводу комментарии.
      Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне.
      Они были известны только посвященным.
      В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди ученых и
      художников в связи с его применением как в геометрии, так и в искусстве,
      особенно в архитектуре Леонардо да Винчи, художник и ученый, видел, что у
      итальянских художников эмпирический опыт большой, а знаний мало. Он
      задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга
      монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. По мнению современников
      и историков науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшим
      математиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем. Лука Пачоли был
      учеником художника Пьеро делла Франчески, написавшего две книги, одна из
      которых называлась «О перспективе в живописи». Его считают творцом
      начертательной геометрии.
      Лука Пачоли прекрасно понимал значение науки для искусства. В 1496 г по
      приглашению герцога Моро он приезжает в Милан, где читает лекции по
      математике. В Милане при дворе Моро в то время работал и Леонардо да
      Винчи. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли «Божественная
      пропорция» с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что
      их сделал Леонардо да Винчи. Книга была восторженным гимном золотой
      пропорции. Среди многих достоинств золотой пропорции монах Лука Пачоли не
      преминул назвать и ее «божественную суть» как выражение божественного
      триединства бог сын, бог отец и бог дух святой (подразумевалось, что малый
      отрезок есть олицетворение бога сына, больший отрезок – бога отца, а весь
      отрезок – бога духа святого).
      Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления.
      Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными
      пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон
      в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение.
      Так оно и держится до сих пор как самое популярное.
      В то же время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами
      трудился Альбрехт Дюрер. Он делает наброски введения к первому варианту
      трактата о пропорциях. Дюрер пишет. «Необходимо, чтобы тот, кто что-либо
      умеет, обучил этому других, которые в этом нуждаются. Это я и вознамерился
      сделать».
      Судя по одному из писем Дюрера, он встречался с Лукой Пачоли во время
      пребывания в Италии. Альбрехт Дюрер подробно разрабатывает теорию
      пропорций человеческого тела. Важное место в своей системе соотношений
      Дюрер отводил золотому сечению. Рост человека делится в золотых пропорциях
      линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев
      опущенных рук, нижняя часть лица – ртом и т.д. Известен пропорциональный
      циркуль Дюрера.
      Великий астроном XVI в. Иоган Кеплер назвал золотое сечение одним из
      сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой
      пропорции для ботаники (рост растений и их строение).
      Кеплер называл золотую пропорцию продолжающей саму себя «Устроена она так,
      – писал он, – что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме
      дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают
      следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности».
      Построение ряда отрезков золотой пропорции можно производить как в сторону
      увеличения (возрастающий ряд), так и в сторону уменьшения (нисходящий
ряд).
      Если на прямой произвольной длины, отложить отрезок m, рядом откладываем
      отрезок M. На основании этих двух отрезков выстраиваем шкалу отрезков
      золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов

      Рис. 9. Построение шкалы отрезков золотой пропорции

      В последующие века правило золотой пропорции превратилось в академический
      канон и, когда со временем в искусстве началась борьба с академической
      рутиной, в пылу борьбы «вместе с водой выплеснули и ребенка». Вновь
      «открыто» золотое сечение было в середине XIX в. В 1855 г. немецкий
      исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд
      «Эстетические исследования». С Цейзингом произошло именно то, что и должно
      было неминуемо произойти с исследователем, который рассматривает явление
      как таковое, без связи с другими явлениями. Он абсолютизировал пропорцию
      золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и
      искусства. У Цейзинга были многочисленные последователи, но были и
      противники, которые объявили его учение о пропорциях «математической
      эстетикой».

      Рис. 10. Золотые пропорции в частях тела человека

      Рис. 11. Золотые пропорции в фигуре человека Цейзинг проделал колоссальную
      работу. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу,
      что золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела
      точкой пупа – важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского
      тела колеблются в пределах среднего отношения 13 : 8 = 1,625 и несколько
      ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в
      отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8 :
      5 = 1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1 : 1, к 13 годам
      она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской. Пропорции золотого сечения
      проявляются и в отношении других частей тела – длина плеча, предплечья и
      кисти, кисти и пальцев и т.д.

 
      Справедливость своей теории Цейзинг проверял на греческих статуях.
      Наиболее подробно он разработал пропорции Аполлона Бельведерского.
      Подверглись исследованию греческие вазы, архитектурные сооружения
      различных эпох, растения, животные, птичьи яйца, музыкальные тона,
      стихотворные размеры. Цейзинг дал определение золотому сечению, показал,
      как оно выражается в отрезках прямой и в цифрах. Когда цифры, выражающие
      длины отрезков, были получены, Цейзинг увидел, что они составляют ряд
      Фибоначчи, который можно продолжать до бесконечности в одну и в другую
      сторону. Следующая его книга имела название «Золотое деление как основной
      морфологический закон в природе и искусстве». В 1876 г. в России была
      издана небольшая книжка, почти брошюра, с изложением этого труда Цейзинга.
      Автор укрылся под инициалами Ю.Ф.В. В этом издании не упомянуто ни одно
      произведение живописи.
      В конце XIX – начале XX вв. появилось немало чисто формалистических теории
      о применении золотого сечения в произведениях искусства и архитектуры. С
      развитием дизайна и технической эстетики действие закона золотого сечения
      распространилось на конструирование машин, мебели и т.д.
      Ряд Фибоначчи
      С историей золотого сечения косвенным образом связано имя итальянского
      математика монаха Леонардо из Пизы, более известного под именем Фибоначчи
      (сын Боначчи). Он много путешествовал по Востоку, познакомил Европу с
      индийскими (арабскими) цифрами. В 1202 г вышел в свет его математический
      труд «Книга об абаке» (счетной доске), в котором были собраны все
      известные на то время задачи. Одна из задач гласила «Сколько пар кроликов
      в один год от одной пары родится». Размышляя на эту тему, Фибоначчи
      выстроил такой ряд цифр:
            Месяцы0123456789101112и т.д.
            Пары кроликов01123581321345589144и т.д.

      Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известен как ряд
      Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый
      ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3 = 5; 3 + 5
      = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т.д., а отношение смежных
      чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Так, 21 : 34 =
      0,617, а 34 : 55 = 0,618. Это отношение обозначается символом Ф. Только
      это отношение – 0,618 : 0,382 – дает непрерывное деление отрезка прямой в
      золотой пропорции, увеличение его или уменьшение до бесконечности, когда
      меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.
      Фибоначчи так же занимался решением практических нужд торговли: с помощью
      какого наименьшего количества гирь можно взвесить товар? Фибоначчи
      доказывает, что оптимальной является такая система гирь: 1, 2, 4, 8, 16...
      Обобщенное золотое сечение
      Ряд Фибоначчи мог бы остаться только математическим казусом, если бы не то
      обстоятельство, что все исследователи золотого деления в растительном и в
      животном мире, не говоря уже об искусстве, неизменно приходили к этому
      ряду как арифметическому выражению закона золотого деления.
      Ученые продолжали активно развивать теорию чисел Фибоначчи и золотого
      сечения. Ю. Матиясевич с использованием чисел Фибоначчи решает 10-ю
      проблему Гильберта. Возникают изящные методы решения ряда кибернетических
      задач (теории поиска, игр, программирования) с использованием чисел
      Фибоначчи и золотого сечения. В США создается даже Математическая
      Фибоначчи-ассоциация, которая с 1963 года выпускает специальный журнал.
      Одним из достижений в этой области является открытие обобщенных чисел
      Фибоначчи и обобщенных золотых сечений.
      Ряд Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8) и открытый им же «двоичный» ряд гирь 1,
      2, 4, 8, 16... на первый взгляд совершенно разные. Но алгоритмы их
      построения весьма похожи друг на друга: в первом случае каждое число есть
      сумма предыдущего числа с самим собой 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2..., во втором –
      это сумма двух предыдущх чисел 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2.... Нельзя
      ли отыскать общую математическую формулу, из которой получаются и
      «двоичный» ряд, и ряд Фибоначчи? А может быть, эта формула даст нам новые
      числовые множества, обладающие какими-то новыми уникальными свойствами?
      Действительно, зададимся числовым параметром S, который может принимать
      любые значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Рассмотрим числовой ряд, S + 1 первых
      членов которого – единицы, а каждый из последующих равен сумме двух членов
      предыдущего и отстоящего от предыдущего на S шагов. Если n-й член этого
      ряда мы обозначим через ;S (n), то получим общую формулу ;S (n) = ;S (n –
      1) + ;S (n – S – 1).
      Очевидно, что при S = 0 из этой формулы мы получим «двоичный» ряд, при S =
      1 – ряд Фибоначчи, при S = 2, 3, 4. новые ряды чисел, которые получили
      название S-чисел Фибоначчи.
      В общем виде золотая S-пропорция есть положительный корень уравнения
      золотого S-сечения xS+1 – xS – 1 = 0.
      Нетрудно показать, что при S = 0 получается деление отрезка пополам, а при
      S = 1 –знакомое классическое золотое сечение.
      Отношения соседних S-чисел Фибоначчи с абсолютной математической точностью
      совпадают в пределе с золотыми S-пропорциями! Математики в таких случаях
      говорят, что золотые S-сечения являются числовыми инвариантами S-чисел
      Фибоначчи.
      Факты, подтверждающие существование золотых S-сечений в природе, приводит
      белорусский ученый Э.М. Сороко в книге «Структурная гармония систем»
      (Минск, «Наука и техника», 1984). Оказывается, например, что хорошо
      изученные двойные сплавы обладают особыми, ярко выраженными
      функциональными свойствами (устойчивы в термическом отношении, тверды,
      износостойки, устойчивы к окислению и т. п) только в том случае, если
      удельные веса исходных компонентов связаны друг с другом одной из золотых
      S-пропорций. Это позволило автору выдвинуть гипотезe о том, что золотые
      S-сечения есть числовые инварианты самоорганизующихся систем. Будучи
      подтвержденной экспериментально, эта гипотеза может иметь фундаментальное
      значение для развития синергетики – новой области науки, изучающей
      процессы в самоорганизующихся системах.
      С помощью кодов золотой S-пропорции можно выразить любое действительное
      число в виде суммы степеней золотых S-пропорций с целыми коэффициентами.
      Принципиальное отличие такого способа кодирования чисел заключается в том,
      что основания новых кодов, представляющие собой золотые S-пропорции, при S
      > 0 оказываются иррациональными числами. Таким образом, новые системы
      счисления с иррациональными основаниями как бы ставят «с головы на ноги»
      исторически сложившуюся иерархию отношений между числами рациональными и
      иррациональными. Дело в том, что сначала были «открыты» числа натуральные;
      затем их отношения – числа рациональные. И лишь позже – после открытия
      пифагорийцами несоизмеримых отрезков – на свет появились иррациональные
      числа. Скажем, в десятичной, пятеричной, двоичной и других классических
      позиционных системах счисления в качестве своеобразной первоосновы были
      выбраны натуральные числа – 10, 5, 2, – из которых уже по определенным
      правилам конструировались все другие натуральные, а также рациональные и
      иррациональные числа.
      Своего рода альтернативой существующим способам счисления выступает новая,
      иррациональная система, в качестве первоосновы, начала счисления которой
      выбрано иррациональное число (являющееся, напомним, корнем уравнения
      золотого сечения); через него уже выражаются другие действительные числа.
      В такой системе счисления любое натуральное число всегда представимо в
      виде конечной – а не бесконечной, как думали ранее! – суммы степеней любой
      из золотых S-пропорций. Это одна из причин, почему «иррациональная»
      арифметика, обладая удивительной математической простотой и изяществом,
      как бы вобрала в себя лучшие качества классической двоичной и
      «Фибоначчиевой» арифметик.
      Принципы формообразования в природе
      Все, что приобретало какую-то форму, образовывалось, росло, стремилось
      занять место в пространстве и сохранить себя. Это стремление находит
      осуществление в основном в двух вариантах – рост вверх или расстилание по
      поверхности земли и закручивание по спирали.
      Раковина закручена по спирали. Если ее развернуть, то получается длина,
      немного уступающая длине змеи. Небольшая десятисантиметровая раковина
      имеет спираль длиной 35 см. Спирали очень распространены в природе.
      Представление о золотом сечении будет неполным, если не сказать о спирали.

      Рис. 12. Спираль Архимеда
      Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда. Он изучал ее
      и вывел уравнение спирали. Спираль, вычерченная по этому уравнению,
      называется его именем. Увеличение ее шага всегда равномерно. В настоящее
      время спираль Архимеда широко применяется в технике.
      Еще Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Винтообразное и
      спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно.
      Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны,
      ананасах, кактусах и т.д. Совместная работа ботаников и математиков
      пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в
      расположении листьев на ветке (филотаксис), семян подсолнечника, шишек
      сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон
      золотого сечения. Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью
      закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по
      спирали. Молекула ДНК закручена двойной спиралью. Гете называл спираль
      «кривой жизни».
      Среди придорожных трав растет ничем не примечательное растение – цикорий.
      Приглядимся к нему внимательно. От основного стебля образовался отросток.
      Тут же расположился первый листок.

      Рис. 13. Цикорий
      Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает
      листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже
      меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс. Если
      первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий –
      38, четвертый – 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой
      пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло
      определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в
      пропорции золотого сечения.

      Рис. 14. Ящерица живородящая
      В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза
      пропорции – длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62
      к 38.
      И в растительном, и в животном мире настойчиво пробивается формообразующая
      тенденция природы – симметрия относительно направления роста и движения.
      Здесь золотое сечение проявляется в пропорциях частей перпендикулярно к
      направлению роста.
      Природа осуществила деление на симметричные части и золотые пропорции. В
      частях проявляется повторение строения целого.

      Рис. 15. Яйцо птицы
      Великий Гете, поэт, естествоиспытатель и художник (он рисовал и писал
      акварелью), мечтал о создании единого учения о форме, образовании и
      преобразовании органических тел. Это он ввел в научный обиход термин
      морфология.
      Пьер Кюри в начале нашего столетия сформулировал ряд глубоких идей
      симметрии. Он утверждал, что нельзя рассматривать симметрию какого-либо
      тела, не учитывая симметрию окружающей среды.
      Закономерности «золотой» симметрии проявляются в энергетических переходах
      элементарных частиц, в строении некоторых химических соединений, в
      планетарных и космических системах, в генных структурах живых организмов.
      Эти закономерности, как указано выше, есть в строении отдельных органов
      человека и тела в целом, а также проявляются в биоритмах и
      функционировании головного мозга и зрительного восприятия.
      Золотое сечение и симметрия
      Золотое сечение нельзя рассматривать само по себе, отдельно, без связи с
      симметрией. Великий русский кристаллограф Г.В. Вульф (1863...1925) считал
      золотое сечение одним из проявлений симметрии.
      Золотое деление не есть проявление асимметрии, чего-то противоположного
      симметрии Согласно современным представлениям золотое деление – это
      асимметричная симметрия. В науку о симметрии вошли такие понятия, как
      статическая и динамическая симметрия. Статическая симметрия характеризует
      покой, равновесие, а динамическая – движение, рост. Так, в природе
      статическая симметрия представлена строением кристаллов, а в искусстве
      характеризует покой, равновесие и неподвижность. Динамическая симметрия
      выражает активность, характеризует движение, развитие, ритм, она –
      свидетельство жизни. Статической симметрии свойственны равные отрезки,
      равные величины. Динамической симметрии свойственно увеличение отрезков
      или их уменьшение, и оно выражается в величинах золотого сечения
      возрастающего или убывающего ряда.
      
      Источники информации:
      1.     Ковалев Ф.В. Золотое сечение в живописи. К.: Выща школа, 1989.
      2.     Кеплер И. О шестиугольных снежинках. – М., 1982.
      3.     Дюрер А. Дневники, письма, трактаты – Л., М., 1957.
      4.     Цеков-Карандаш Ц. О втором золотом сечении. – София, 1983.
      5.     Стахов А. Коды золотой пропорции.

 
      Золотое сечение
      Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме
      какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а
      может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат
      сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему
      зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое
      всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном
      отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения – высшее
      проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей
      в искусстве, науке, технике и природе.
      Золотое сечение – гармоническая пропорция
      В математике пропорцией (лат. proportio) называют равенство двух
      отношений: a : b = c : d.
      Отрезок прямой АВ можно разделить на две части следующими способами:
        на две равные части – АВ : АС = АВ : ВС;
        на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не
        образуют);
        таким образом, когда АВ : АС = АС : ВС.
      Последнее и есть золотое деление или деление отрезка в крайнем и среднем
      отношении.
      Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные
      части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама
      большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок
      так относится к большему, как больший ко всему
      a : b = b : c или с : b = b : а.

      Рис. 1. Геометрическое изображение золотой пропорции
      Практическое знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка
      прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки.

      Рис. 2. Деление отрезка прямой по золотому сечению. BC = 1/2 AB; CD = BC
      Из точки В восставляется перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная
      точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается
      отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ.
      Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой
      пропорции.
      Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью AE
      = 0,618..., если АВ принять за единицу, ВЕ = 0,382... Для практических
      целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ
      принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38
      частям.
      Свойства золотого сечения описываются уравнеием:
      x2 – x – 1 = 0.
      Решение этого уравнения:

      Свойства золотого сечения создали вокруг этого числа романтический ореол
      таинственности и чуть ли не мистического поклонения.
      Второе золотое сечение
      Болгарский журнал «Отечество» (№10, 1983 г.) опубликовал статью Цветана
      Цекова-Карандаша «О втором золотом сечении», которое вытекает из основного
      сечения и дает другое отношение 44 : 56.
      Такая пропорция обнаружена в архитектуре, а также имеет место при
      построении композиций изображений удлиненного горизонтального формата.

            Рис. 3. Построение второго золотого сечения Деление осуществляется
            следующим образом. Отрезок АВ делится в пропорции золотого сечения.
            Из точки С восставляется перпендикуляр СD. Радиусом АВ находится
            точка D, которая соединяется линией с точкой А. Прямой угол АСD
            делится пополам. Из точки С проводится линия до пересечения с линией
            AD. Точка Е делит отрезок AD в отношении 56 : 44.


      Рис. 4. Деление прямоугольника линией второго золотого сечения
      На рисунке показано положение линии второго золотого сечения. Она
      находится посередине между линией золотого сечения и средней линией
      прямоугольника.
      Золотой треугольник
      Для нахождения отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов
      можно пользоваться пентаграммой.

      Рис. 5. Построение правильного пятиугольника и пентаграммы
      Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник.
      Способ его построения разработал немецкий живописец и график Альбрехт
      Дюрер (1471...1528). Пусть O – центр окружности, A – точка на окружности и
      Е – середина отрезка ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА, восставленный в точке
      О, пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на
      диаметре отрезок CE = ED. Длина стороны вписанного в окружность
      правильного пятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и
      получим пять точек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем
      углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму. Все
      диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой
      золотой пропорцией.
      Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник.
      Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на
      боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения.

 

      Рис. 6. Построение золотого треугольника Проводим прямую АВ. От точки А
      откладываем на ней три раза отрезок О произвольной величины, через
      полученную точку Р проводим перпендикуляр к линии АВ, на перпендикуляре
      вправо и влево от точки Р откладываем отрезки О. Полученные точки d и d1
      соединяем прямыми с точкой А. Отрезок dd1 откладываем на линию Ad1,
      получая точку С. Она разделила линию Ad1 в пропорции золотого сечения.
      Линиями Ad1 и dd1 пользуются для построения «золотого» прямоугольника.

 
      История золотого сечения
      Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход
      Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть
      предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у
      египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов,
      барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона
      свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями
      золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Корбюзье
      нашел, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе,
      изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют величинам
      золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски
      из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых
      зафиксированы пропорции золотого деления.
      Греки были искусными геометрами. Даже арифметике обучали своих детей при
      помощи геометрических фигур. Квадрат Пифагора и диагональ этого квадрата
      были основанием для построения динамических прямоугольников.

      Рис. 7. Динамические прямоугольники
      Платон (427...347 гг. до н.э.) также знал о золотом делении. Его диалог
      «Тимей» посвящен математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора
      и, в частности, вопросам золотого деления.
      В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые пропорции.
      При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и
      скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также
      заложены пропорции золотого деления.

      Рис. 8. Античный циркуль золотого сечения
      В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается
      в «Началах» Евклида. Во 2-й книге «Начал» дается геометрическое построение
      золотого деления После Евклида исследованием золотого деления занимались
      Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др. В средневековой Европе с
      золотым делением познакомились по арабским переводам «Начал» Евклида.
      Переводчик Дж. Кампано из Наварры (III в.) сделал к переводу комментарии.
      Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне.
      Они были известны только посвященным.
      В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди ученых и
      художников в связи с его применением как в геометрии, так и в искусстве,
      особенно в архитектуре Леонардо да Винчи, художник и ученый, видел, что у
      итальянских художников эмпирический опыт большой, а знаний мало. Он
      задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга
      монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. По мнению современников
      и историков науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшим
      математиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем. Лука Пачоли был
      учеником художника Пьеро делла Франчески, написавшего две книги, одна из
      которых называлась «О перспективе в живописи». Его считают творцом
      начертательной геометрии.
      Лука Пачоли прекрасно понимал значение науки для искусства. В 1496 г по
      приглашению герцога Моро он приезжает в Милан, где читает лекции по
      математике. В Милане при дворе Моро в то время работал и Леонардо да
      Винчи. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли «Божественная
      пропорция» с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что
      их сделал Леонардо да Винчи. Книга была восторженным гимном золотой
      пропорции. Среди многих достоинств золотой пропорции монах Лука Пачоли не
      преминул назвать и ее «божественную суть» как выражение божественного
      триединства бог сын, бог отец и бог дух святой (подразумевалось, что малый
      отрезок есть олицетворение бога сына, больший отрезок – бога отца, а весь
      отрезок – бога духа святого).
      Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления.
      Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными
      пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон
      в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение.
      Так оно и держится до сих пор как самое популярное.
      В то же время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами
      трудился Альбрехт Дюрер. Он делает наброски введения к первому варианту
      трактата о пропорциях. Дюрер пишет. «Необходимо, чтобы тот, кто что-либо
      умеет, обучил этому других, которые в этом нуждаются. Это я и вознамерился
      сделать».
      Судя по одному из писем Дюрера, он встречался с Лукой Пачоли во время
      пребывания в Италии. Альбрехт Дюрер подробно разрабатывает теорию
      пропорций человеческого тела. Важное место в своей системе соотношений
      Дюрер отводил золотому сечению. Рост человека делится в золотых пропорциях
      линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев
      опущенных рук, нижняя часть лица – ртом и т.д. Известен пропорциональный
      циркуль Дюрера.
      Великий астроном XVI в. Иоган Кеплер назвал золотое сечение одним из
      сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой
      пропорции для ботаники (рост растений и их строение).
      Кеплер называл золотую пропорцию продолжающей саму себя «Устроена она так,
      – писал он, – что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме
      дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают
      следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности».
      Построение ряда отрезков золотой пропорции можно производить как в сторону
      увеличения (возрастающий ряд), так и в сторону уменьшения (нисходящий
ряд).
      Если на прямой произвольной длины, отложить отрезок m, рядом откладываем
      отрезок M. На основании этих двух отрезков выстраиваем шкалу отрезков
      золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов

 

      Рис. 9. Построение шкалы отрезков золотой пропорции

 
      В последующие века правило золотой пропорции превратилось в академический
      канон и, когда со временем в искусстве началась борьба с академической
      рутиной, в пылу борьбы «вместе с водой выплеснули и ребенка». Вновь
      «открыто» золотое сечение было в середине XIX в. В 1855 г. немецкий
      исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд
      «Эстетические исследования». С Цейзингом произошло именно то, что и должно
      было неминуемо произойти с исследователем, который рассматривает явление
      как таковое, без связи с другими явлениями. Он абсолютизировал пропорцию
      золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и
      искусства. У Цейзинга были многочисленные последователи, но были и
      противники, которые объявили его учение о пропорциях «математической
      эстетикой».

      Рис. 10. Золотые пропорции в частях тела человека

 

      Рис. 11. Золотые пропорции в фигуре человека Цейзинг проделал колоссальную
      работу. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу,
      что золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела
      точкой пупа – важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского
      тела колеблются в пределах среднего отношения 13 : 8 = 1,625 и несколько
      ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в
      отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8 :
      5 = 1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1 : 1, к 13 годам
      она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской. Пропорции золотого сечения
      проявляются и в отношении других частей тела – длина плеча, предплечья и
      кисти, кисти и пальцев и т.д.

 
      Справедливость своей теории Цейзинг проверял на греческих статуях.
      Наиболее подробно он разработал пропорции Аполлона Бельведерского.
      Подверглись исследованию греческие вазы, архитектурные сооружения
      различных эпох, растения, животные, птичьи яйца, музыкальные тона,
      стихотворные размеры. Цейзинг дал определение золотому сечению, показал,
      как оно выражается в отрезках прямой и в цифрах. Когда цифры, выражающие
      длины отрезков, были получены, Цейзинг увидел, что они составляют ряд
      Фибоначчи, который можно продолжать до бесконечности в одну и в другую
      сторону. Следующая его книга имела название «Золотое деление как основной
      морфологический закон в природе и искусстве». В 1876 г. в России была
      издана небольшая книжка, почти брошюра, с изложением этого труда Цейзинга.
      Автор укрылся под инициалами Ю.Ф.В. В этом издании не упомянуто ни одно
      произведение живописи.
      В конце XIX – начале XX вв. появилось немало чисто формалистических теории
      о применении золотого сечения в произведениях искусства и архитектуры. С
      развитием дизайна и технической эстетики действие закона золотого сечения
      распространилось на конструирование машин, мебели и т.д.
      Ряд Фибоначчи
      С историей золотого сечения косвенным образом связано имя итальянского
      математика монаха Леонардо из Пизы, более известного под именем Фибоначчи
      (сын Боначчи). Он много путешествовал по Востоку, познакомил Европу с
      индийскими (арабскими) цифрами. В 1202 г вышел в свет его математический
      труд «Книга об абаке» (счетной доске), в котором были собраны все
      известные на то время задачи. Одна из задач гласила «Сколько пар кроликов
      в один год от одной пары родится». Размышляя на эту тему, Фибоначчи
      выстроил такой ряд цифр:
            Месяцы0123456789101112и т.д.
            Пары кроликов01123581321345589144и т.д.

      Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известен как ряд
      Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый
      ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3 = 5; 3 + 5
      = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т.д., а отношение смежных
      чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Так, 21 : 34 =
      0,617, а 34 : 55 = 0,618. Это отношение обозначается символом Ф. Только
      это отношение – 0,618 : 0,382 – дает непрерывное деление отрезка прямой в
      золотой пропорции, увеличение его или уменьшение до бесконечности, когда
      меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.
      Фибоначчи так же занимался решением практических нужд торговли: с помощью
      какого наименьшего количества гирь можно взвесить товар? Фибоначчи
      доказывает, что оптимальной является такая система гирь: 1, 2, 4, 8, 16...
      Обобщенное золотое сечение
      Ряд Фибоначчи мог бы остаться только математическим казусом, если бы не то
      обстоятельство, что все исследователи золотого деления в растительном и в
      животном мире, не говоря уже об искусстве, неизменно приходили к этому
      ряду как арифметическому выражению закона золотого деления.
      Ученые продолжали активно развивать теорию чисел Фибоначчи и золотого
      сечения. Ю. Матиясевич с использованием чисел Фибоначчи решает 10-ю
      проблему Гильберта. Возникают изящные методы решения ряда кибернетических
      задач (теории поиска, игр, программирования) с использованием чисел
      Фибоначчи и золотого сечения. В США создается даже Математическая
      Фибоначчи-ассоциация, которая с 1963 года выпускает специальный журнал.
      Одним из достижений в этой области является открытие обобщенных чисел
      Фибоначчи и обобщенных золотых сечений.
      Ряд Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8) и открытый им же «двоичный» ряд гирь 1,
      2, 4, 8, 16... на первый взгляд совершенно разные. Но алгоритмы их
      построения весьма похожи друг на друга: в первом случае каждое число есть
      сумма предыдущего числа с самим собой 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2..., во втором –
      это сумма двух предыдущх чисел 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2.... Нельзя
      ли отыскать общую математическую формулу, из которой получаются и
      «двоичный» ряд, и ряд Фибоначчи? А может быть, эта формула даст нам новые
      числовые множества, обладающие какими-то новыми уникальными свойствами?
      Действительно, зададимся числовым параметром S, который может принимать
      любые значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Рассмотрим числовой ряд, S + 1 первых
      членов которого – единицы, а каждый из последующих равен сумме двух членов
      предыдущего и отстоящего от предыдущего на S шагов. Если n-й член этого
      ряда мы обозначим через ;S (n), то получим общую формулу ;S (n) = ;S (n –
      1) + ;S (n – S – 1).
      Очевидно, что при S = 0 из этой формулы мы получим «двоичный» ряд, при S =
      1 – ряд Фибоначчи, при S = 2, 3, 4. новые ряды чисел, которые получили
      название S-чисел Фибоначчи.
      В общем виде золотая S-пропорция есть положительный корень уравнения
      золотого S-сечения xS+1 – xS – 1 = 0.
      Нетрудно показать, что при S = 0 получается деление отрезка пополам, а при
      S = 1 –знакомое классическое золотое сечение.
      Отношения соседних S-чисел Фибоначчи с абсолютной математической точностью
      совпадают в пределе с золотыми S-пропорциями! Математики в таких случаях
      говорят, что золотые S-сечения являются числовыми инвариантами S-чисел
      Фибоначчи.
      Факты, подтверждающие существование золотых S-сечений в природе, приводит
      белорусский ученый Э.М. Сороко в книге «Структурная гармония систем»
      (Минск, «Наука и техника», 1984). Оказывается, например, что хорошо
      изученные двойные сплавы обладают особыми, ярко выраженными
      функциональными свойствами (устойчивы в термическом отношении, тверды,
      износостойки, устойчивы к окислению и т. п) только в том случае, если
      удельные веса исходных компонентов связаны друг с другом одной из золотых
      S-пропорций. Это позволило автору выдвинуть гипотезe о том, что золотые
      S-сечения есть числовые инварианты самоорганизующихся систем. Будучи
      подтвержденной экспериментально, эта гипотеза может иметь фундаментальное
      значение для развития синергетики – новой области науки, изучающей
      процессы в самоорганизующихся системах.
      С помощью кодов золотой S-пропорции можно выразить любое действительное
      число в виде суммы степеней золотых S-пропорций с целыми коэффициентами.
      Принципиальное отличие такого способа кодирования чисел заключается в том,
      что основания новых кодов, представляющие собой золотые S-пропорции, при S
      > 0 оказываются иррациональными числами. Таким образом, новые системы
      счисления с иррациональными основаниями как бы ставят «с головы на ноги»
      исторически сложившуюся иерархию отношений между числами рациональными и
      иррациональными. Дело в том, что сначала были «открыты» числа натуральные;
      затем их отношения – числа рациональные. И лишь позже – после открытия
      пифагорийцами несоизмеримых отрезков – на свет появились иррациональные
      числа. Скажем, в десятичной, пятеричной, двоичной и других классических
      позиционных системах счисления в качестве своеобразной первоосновы были
      выбраны натуральные числа – 10, 5, 2, – из которых уже по определенным
      правилам конструировались все другие натуральные, а также рациональные и
      иррациональные числа.
      Своего рода альтернативой существующим способам счисления выступает новая,
      иррациональная система, в качестве первоосновы, начала счисления которой
      выбрано иррациональное число (являющееся, напомним, корнем уравнения
      золотого сечения); через него уже выражаются другие действительные числа.
      В такой системе счисления любое натуральное число всегда представимо в
      виде конечной – а не бесконечной, как думали ранее! – суммы степеней любой
      из золотых S-пропорций. Это одна из причин, почему «иррациональная»
      арифметика, обладая удивительной математической простотой и изяществом,
      как бы вобрала в себя лучшие качества классической двоичной и
      «Фибоначчиевой» арифметик.
      Принципы формообразования в природе
      Все, что приобретало какую-то форму, образовывалось, росло, стремилось
      занять место в пространстве и сохранить себя. Это стремление находит
      осуществление в основном в двух вариантах – рост вверх или расстилание по
      поверхности земли и закручивание по спирали.
      Раковина закручена по спирали. Если ее развернуть, то получается длина,
      немного уступающая длине змеи. Небольшая десятисантиметровая раковина
      имеет спираль длиной 35 см. Спирали очень распространены в природе.
      Представление о золотом сечении будет неполным, если не сказать о спирали.

      Рис. 12. Спираль Архимеда
      Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда. Он изучал ее
      и вывел уравнение спирали. Спираль, вычерченная по этому уравнению,
      называется его именем. Увеличение ее шага всегда равномерно. В настоящее
      время спираль Архимеда широко применяется в технике.
      Еще Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Винтообразное и
      спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно.
      Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны,
      ананасах, кактусах и т.д. Совместная работа ботаников и математиков
      пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в
      расположении листьев на ветке (филотаксис), семян подсолнечника, шишек
      сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон
      золотого сечения. Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью
      закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по
      спирали. Молекула ДНК закручена двойной спиралью. Гете называл спираль
      «кривой жизни».
      Среди придорожных трав растет ничем не примечательное растение – цикорий.
      Приглядимся к нему внимательно. От основного стебля образовался отросток.
      Тут же расположился первый листок.

      Рис. 13. Цикорий
      Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает
      листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже
      меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс. Если
      первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий –
      38, четвертый – 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой
      пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло
      определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в
      пропорции золотого сечения.

      Рис. 14. Ящерица живородящая
      В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза
      пропорции – длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62
      к 38.
      И в растительном, и в животном мире настойчиво пробивается формообразующая
      тенденция природы – симметрия относительно направления роста и движения.
      Здесь золотое сечение проявляется в пропорциях частей перпендикулярно к
      направлению роста.
      Природа осуществила деление на симметричные части и золотые пропорции. В
      частях проявляется повторение строения целого.

      Рис. 15. Яйцо птицы
      Великий Гете, поэт, естествоиспытатель и художник (он рисовал и писал
      акварелью), мечтал о создании единого учения о форме, образовании и
      преобразовании органических тел. Это он ввел в научный обиход термин
      морфология.
      Пьер Кюри в начале нашего столетия сформулировал ряд глубоких идей
      симметрии. Он утверждал, что нельзя рассматривать симметрию какого-либо
      тела, не учитывая симметрию окружающей среды.
      Закономерности «золотой» симметрии проявляются в энергетических переходах
      элементарных частиц, в строении некоторых химических соединений, в
      планетарных и космических системах, в генных структурах живых организмов.
      Эти закономерности, как указано выше, есть в строении отдельных органов
      человека и тела в целом, а также проявляются в биоритмах и
      функционировании головного мозга и зрительного восприятия.
      Золотое сечение и симметрия
      Золотое сечение нельзя рассматривать само по себе, отдельно, без связи с
      симметрией. Великий русский кристаллограф Г.В. Вульф (1863...1925) считал
      золотое сечение одним из проявлений симметрии.
      Золотое деление не есть проявление асимметрии, чего-то противоположного
      симметрии согласно современным представлениям золотое деление – это
      асимметричная симметрия. В науку о симметрии вошли такие понятия, как
      статическая и динамическая симметрия. Статическая симметрия характеризует
      покой, равновесие, а динамическая – движение, рост. Так, в природе
      статическая симметрия представлена строением кристаллов, а в искусстве
      характеризует покой, равновесие и неподвижность. Динамическая симметрия
      выражает активность, характеризует движение, развитие, ритм, она –
      свидетельство жизни. Статической симметрии свойственны равные отрезки,
      равные величины. Динамической симметрии свойственно увеличение отрезков
      или их уменьшение, и оно выражается в величинах золотого сечения
      возрастающего или убывающего ряда.
      
      Источники информации:
      1.     Ковалев Ф.В. Золотое сечение в живописи. К.: Выща школа, 1989.
      2.     Кеплер И. О шестиугольных снежинках. – М., 1982.
      3.     Дюрер А. Дневники, письма, трактаты – Л., М., 1957.
      4.     Цеков-Карандаш Ц. О втором золотом сечении. – София, 1983.
      5.     Стахов А. Коды золотой пропорции.