Парагогенгейм. Треугольные благословения

Парагогенгейм. Треугольные благословения Парагогенгейма
____

Википедия: Треугольник Паскаля (арифметический треугольник) — бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. В большей части западного мира она названа в честь французского математика Блеза Паскаля, хотя за многие столетия до него её изучали и другие математики в исламском мире[1], Индии[2], Китае, Германии и Италии[3]. Числа, составляющие треугольник Паскаля, возникают естественным образом в алгебре, комбинаторике, теории вероятностей, математическом анализе, теории чисел[4].


Первые 15 строк треугольника Паскаля (n = 0, 1, …, 14)
История
править

Треугольник Яна Хуэя в китайском средневековом манускрипте, 1303 год
Схема чисел, образующих треугольник Паскаля, была известна задолго до времен Паскаля. Персидский математик Аль-Караджи (953–1029) написал ныне утерянную книгу, содержащую первую формулировку биномиальных коэффициентов и первое в истории описание треугольника Паскаля[5][6][7]. Позднее треугольник также исследовался Омаром Хайямом около 1100 года, поэтому в Иране эту схему называют треугольником Хайяма (;;;; ;;;;). Упоминание треугольной последовательности биномиальных коэффициентов под названием meru-prastaara встречается также в комментарии индийского математика X века Халаюдхи[англ.] к трудам другого математика, Пингалы[неавторитетный источник][8]. В 1303 году была выпущена книга «Яшмовое зеркало четырёх элементов» китайского математика Чжу Шицзе, в которой был изображен треугольник Паскаля на одной из иллюстраций; считается, что изобрёл его другой китайский математик, Ян Хуэй, поэтому в Китае его называют треугольником Яна Хуэя (;;;;; ;;;;).

В Италии треугольник Паскаля иногда называют треугольником Тартальи, поскольку Никколо Тарталья описал эту таблицу на сто лет раньше Паскаля. На титульном листе учебника арифметики, написанного в 1529 году Петером Апианом, астрономом из Ингольштадтского университета (нем.), также изображён треугольник Паскаля. А в 1665 году[9] вышла книга Блеза Паскаля «Трактат об арифметическом треугольнике»[10], которая была специально посвящена данной таблице и по содержательности опережала своих европейских предшественников. Позднее треугольник был назван в честь Паскаля Пьером Раймоном де Монмором (1708), который назвал его table de M. Pascal pour les combinaisons (с французского: Таблица сочетаний господина Паскаля), и Абрахамом де Муавром (1730), который назвал его Triangulum Arithmeticum PASCALIANUM (с латинского: Арифметический треугольник Паскаля), что стало основой современного западного названия[11].

Обозначения и свойства
править
Биномиальные коэффициенты часто обозначаются
(
n
k
)
{\displaystyle {\binom {n}{k}}} или
C
n
k
{\displaystyle C_{n}^{k}} и читаются как «число сочетаний из n элементов по k»[4].

Числа треугольника симметричны (равны) относительно вертикальной оси.
В строке с номером n (нумерация начинается с 0):
первое и последнее числа равны 1;
второе и предпоследнее числа равны n;
третье число равно треугольному числу
T
n
;
1
=
n
(
n
;
1
)
2
{\displaystyle T_{n-1}={\frac {n(n-1)}{2}}}, что также равно сумме номеров предшествующих строк;
четвёртое число является тетраэдрическим;
m-е число (при нумерации с 0) равно биномиальному коэффициенту
C
n
m
=
(
n
m
)
=
n
!
m
!
(
n
;
m
)
!
{\displaystyle C_{n}^{m}={\binom {n}{m}}={\frac {n!}{m!(n-m)!}}}.
Сумма чисел восходящей диагонали, начинающейся с первого элемента (n ; 1)-й строки, есть n-е число Фибоначчи:
(
n
;
1
0
)
+
(
n
;
2
1
)
+
(
n
;
3
2
)
+
…
=
F
n
.
{\displaystyle {\binom {n-1}{0}}+{\binom {n-2}{1}}+{\binom {n-3}{2}}+\ldots =F_{n}.}
______
Парагогенгейм-Лосев*-Плотин:

треугольное время - подвижный образ треугольной вечности весны;

треугольная вечность - неподвижный образ треугольного времени весны.


{*Лосев Алексей Фёдорович}
______
Стремительно стремглав
Треугольно благословляя

Друзей и врагов -
Трепетно дышу...


БогоСтремительно БогоСтремглав
БогоТреугольно БогоБлагословляя

БогоДрузей Богоивов врагов -
Трепетно дышу...


О, БогоДрузья Богоивов врагов!
О, БогоИвы врагов!

В вечности времён -
Благословенны!


О, БогоДрузья Богоивов врагов!
О, БогоИвы врагов!

Во времени вечности  -
Благословенны!


Святы Огни БогоИвов!
Святы Огни БогоСоюзов!

Святы Огни Бого[и краткого]овов!
Святы Огни БогоИкратов!