Евклидова геометрия

Евклидова геометрия

Простые аксиомы так важны.
Суть лёгкости своей они фундамент.
Ортогональность первородной глубины.
И изометрий логики орнамент.

Мир чувственных иллюзий бытия,
В небе рождает линии и струны.
Евклидовая истина дана.
Инверсии сферические думы!

Плавают точки на белых листах.
Пространства правила творят фигуры.
Где созидаются пути в речах.
Соприкасаясь радиусами по кругу.

Прямые линии, отрезки, плоскости, лучи,
Окружности и ломанные. Очевидность явят.
Танцуют аксиомами судьбы.
Математические тайны раскрывают.

Понять легко. Лишь стоит захотеть.
Формы несложные, что глубиной своею,
Основой простоты общих идей
Порядка правила Евклида разумеют.

ALEX ZIRK

P.S.:

* Евклидова геометрия
* http://stihi.ru/2024/01/23/622

Евклидова геометрия (или элементарная геометрия) — геометрическая теория, основанная на системе аксиом, впервые изложенной в «Началах» Евклида (III век до н. э.). Это геометрия ортогональной группы.

Основные сведения

Элементарная геометрия — геометрия, определяемая в основном группой перемещений (изометрий) и группой подобия. Однако содержание элементарной геометрии не исчерпывается указанными преобразованиями. К элементарной геометрии также относят преобразование инверсии, вопросы сферической геометрии, элементы геометрических построений, теорию измерения геометрических величин и другие вопросы.

Элементарную геометрию часто называют евклидовой геометрией, так как первоначальное и систематическое её изложение, хотя и недостаточно строгое, было в «Началах» Евклида. Первая строгая аксиоматика элементарной геометрии была дана Гильбертом. Элементарная геометрия изучается в средней общеобразовательной школе.

Аксиоматика

Задача аксиоматизации элементарной геометрии состоит в построении системы аксиом так, чтобы все утверждения евклидовой геометрии следовали из этих аксиом чисто логическим выводом без наглядности чертежей.

В «Началах» Евклида была дана система аксиом, на которой базируется вся евклидова геометрия:

* От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию.
* Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.
* Из всякого центра всяким радиусом может быть описан круг.
* Все прямые углы равны между собой.
* Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых углов, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых углов.

Эта система была достаточна для того, чтобы один математик понял другого, но в доказательствах неявно использовались и другие интуитивно очевидные утверждения, в частности так называемая теорема Паша, которая не может быть выведена из постулатов Евклида.

В 1899 году Гильберт предложил первую достаточно строгую аксиоматику евклидовой геометрии. Попытки улучшения евклидовой аксиоматики предпринимались до Гильберта Пашем, Шуром, Пеано, Веронезе, однако подход Гильберта, при всей его консервативности в выборе понятий, оказался более успешным.


Литература

Адамар Ж. Элементарная геометрия. — Ч. 1. — М.: Учпедгиз, 1948; Ч. 2. — М.: Учпедгиз, 1951.
Гильберт Д. Основания геометрии. Перевод с немецкого под редакцией А. В. Васильева. — Л.: «Сеятель», 1923. — 152 с.
Евклидова геометрия // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
Ефимов Н. В. Высшая геометрия. 7-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 584 с. ISBN 5-9221-0267-2.
Математический энциклопедический словарь. — М.: «Советская энциклопедия», 1988.
Обухова А. И. История элементарной геометрии.