Геометрические сюжеты, цикл

О ГЕОМЕТРИИ

Бог действует как величайший геометр, который предпочитает наилучшее решение задач.
   -  Готфрид Вильгельм Лейбниц;

Нет логики примера лучше,
Чем геометрия Евклида -    (1)
Там каждый очень частный случай
Вселенная и пирамида.

Само название говорит -
Земля и, также, измерение.
Евклид стал очень знаменит,
Что обобщил об этом мнение.

Платон - философ, в Академию
Не принимал учеников,
Кто не знаком был с геометрией,
Что значит - к знаниям не готов.   (2)

Две тысячи лет её законы
Служили всем, без лишних слов
Все теоремы, аксиомы
Фундамент всех наук основ.

Декарт привнёс координаты    (3)
Аналитическим умом
Для инженеров - меценатом,
Подарок дан им в том одном.

Гипотез-теорем строение
И выводов бесспорных ход
Спинозе тоже дал идею -
Так доказать всем, что есть Бог!

На этом “Этики” строение -    (4)
Геометрически стройна,
Там постулаты - уравнения
Работа гения ума.

Прийдут другие геометрии
Им Лобачевский путь открыл -    (5)
Он аксиоме не поверил
О параллельности прямых.

О многомерных геометриях
Нам Римман терему дал..     (6)
Её Эйнштейн нашёл в сомнениях -    (7)
И суть Вселенной показал.

Его Теория элегантна
Геометрический полёт -
В ней гравитация жеманна
В пространстве-времени живёт.

Она - древнейшая система,
Платон, конечно, прав опять -
Без геометрии примера
Мы не готовы мир понять



(1) Евклид  — древнегреческий математик, автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике.

(2) Особая роль геометрии подчёркнута в девизе Академии Платона: «Не геометр да не войдёт!

(3) В пространстве по системе Декарта положение точки определяется расстояниями от трёх плоскостей координат, пересекающихся в одной точке под прямыми углами друг к другу.

(4) «Этика, доказанная в геометрическом порядке»  — философское сочинение Спинозы, опубликованное после смерти автора в 1677 году его друзьями.

(5) Лобачевский — российский математик, один из создателей неевклидовой геометрии,

(6) Риманова геометрия — это раздел дифференциальной геометрии, главным объектом изучения которого являются римановы многообразия

(7) Эйнштейн верил, что «вся физика – это геометрия». Он имел в виду, что про пространство-время и Вселенную можно мыслить геометрическими терминами.





ОДНОЙ ЛИШЬ КНИГОЙ ЗНАМЕНИТ

Нет царского пути в геометрии.
       —  Евклид


Евклид, Коперник и Карно
Одной лишь книгой знамениты.
У каждой книги был росток -
Плоды не могут быть забыты.

Возможно ли представить мир
Без геометрии Евклида?
Там мудрость логики кумир
Гипотез, теорем сюита. 

Ей подражал Спиноза, Ньютон,
Её учили все и вся.
С неё и началась наука
Систематически не зря.

Коперник тоже написал
Одну брошюрку в своей жизни.
Лишь умирая он держал
Её в руках. Но там все мысли.

Он отрицал, что знали все,
Что очевидно и младенцу,
И что сказал его творец:
«Земля всему всегда есть в центре»

Прошли года, прошли костры
И были Бруно, Галилео...
Теперь понятно мы умны
Порой беспечно глядя в небо.

А был ещё Сади Карно
Француз, учёный и юнец
Создал теорию того,
Что всей Вселенной есть конец.

Термодинамику создал,
Два основных её закона.
Он энтропию понимал
А это ведь всему основа.

Одна лишь книга. Мир другой
Без этих книг не представляем.
Мне кажется не тот герой,
Кого количеством лишь знаем.



ПЯТАЯ АКСИОМА

Надо признаться, что попытка трактовать естественные проблемы без геометрии есть попытка сделать невозможное.
          —  Галилео Галилей


Есть пятый постулат Евклида
О параллельности прямых,
Что чуть сложнее очевидных
Первичных четырёх простых.  (1)

Сначала доказать пытался
Её великий геометр.
Не получилось. В том признался,
И аксиомой то нарёк.

Две тысячи лет - попыток много
Иль доказать, иль исключить
Ту аксиому…  очень строго
Скорее "быть ей", чем "не быть”!

Была в том драма и трагедия -
На веру постулат принять
Не все могли, не все хотели..
Их жизнь ушла, чтоб доказать!

Пытались греки и арабы,
Омар Хаям давал совет,
Иезуиты были рады
Попытки сделать.  Всё же - Нет! (2)

Попытки не пропали даром -
Открыт другой "не плоский” мир!
Геометрический подарок
Ейнштейну - физики кумир.  (3)

Простая, в общем, аксиома,
А сколько судью и сколько драм!
Нам с школьных лет она знакома,
Открыла дверь к другим мирам!



(1).  Аксиомы, приведённые Евклидом в «Началах», таковы:

     1.  Через каждые две точки можно провести ровно одну прямую.
     2.  Вдоль любого отрезка можно провести прямую.
     3.  Имея отрезок, можно провести окружность так, что отрезок — радиус, а один из его концов — центр окружности.
     4. Все прямые углы равны.
     5. Аксиома параллельности Евклида: Через точку А вне прямой а в плоскости, проходящей через А и а, можно провести лишь одну прямую, не пересекающую а.

(2). Было множество попыток доказать пятую аксиому, базируясь на первых четырёх, с времён древних греков до современности. Все ошибочные.

(3) В дорелятивистской ньютоновской физике господствовала модель бесконечной Вселенной с евклидовой геометрией.
Революционную модель «геометрии» Вселенной предложил Альберт Эйнштейн, который в рамках развития общей теории относительности (далее ОТО) пришел к пониманию искривления пространства-времени в пределах гравитационного поля. 
Эйнштейн пришел к представлению о конечной по объему, но не имеющей границ Вселенной с неевклидовой метрикой пространства.




ГЕМЕТРИЧЕСКИЙ УМ ГРЕКОВ

«Нелогичное» и «невозможное» — разные вещи.
               Принцип Стайнера

Зенон Элейский нам известен, (1)
Как составитель порадоксов -
Апорий - как их знали греки,
Вопросов нерешимых, сложных.
 
Я пересказывать не буду,
Известны вам они конечно
Пространство, время очень трудно
Понять, как впрочем, бесконечность.

Геометрический ум греков
Не в состоянии представить,
Что с интегральным исчислением
Решения, в общем, тривиальны.

Две тысячи лет должно пройти
Пока Ньютон, а также Лейбниц
Решение нужное нашли
Для апорИй, для тех волшебниц.

Дискуссий много и трудов,
А также сотни диссертаций
Тех парадосов был улов
Так утверждал философ Рассел  (2)

Их сущность до сих пор склоняют
В “теории множеств” уточнить,
Но всё же их не понимают,
Как чувством логику постичь?

Все критики тех парадоксов
(И Аристотель в их числе)
Признали - логика Зенона
Безукоризненна вполне.

Пространство, время и движение
Зенон поставил под вопрос.
И в Даосизме то же мнение
И тот же древний парадокс.


(1) Зенон Элейский (Элеатский; (ок. 490 до н. э. — ок. 430 до н. э.) — древнегреческий философ, ученик Парменида, представитель Элейской школы. Знаменит своими апори;ями, которыми он пытался доказать противоречивость концепций движения, пространства и множества. Научные дискуссии, вызванные этими парадоксальными рассуждениями, существенно углубили понимание таких фундаментальных понятий, как роль дискретного и непрерывного в природе, адекватность физического движения и его математической модели и др. Эти дискуссии продолжаются и в настоящее время

(2)  Бертран Артур Уильям Рассел, 3-й граф Рассел  (1872-1970) — британский философ, общественный деятель и математик. Рассел считается одним из основателей английского неореализма, а также неопозитивизма.





ПИФАГОР

Зороастр был законодателем персов.
Ликург был законодателем спартанцев.
Солон был законодателем афинян.
Нума был законодателем римлян.
Пифагор есть законодатель всего человеческого рода.
       - Из:  "Пифагоровы законы и нравственные правила”, 18086 Санкт-Петербург



О Пифагоре знания скудны
На Самосе родился он
Был вундеркиндом вроде трудным
В семейный бизнес не пошёл.

Отец - каменотёс известный
Махнул рукой - иди, учись.
И он пошёл к учёным местным,
Потом в Египте была жизнь.

Был поражён различием веры -
Ведь в Греции бог, как человек;
В Египте полу-люди-звери
Не мифы - мистика, секрет.

Наука лишь жрецам доступна,
Её секреты не для всех.
И он учился долго, трудно
И видел в цифрах он успех.

В Египте мистика царила
И Пифагор её впитал
Он к ней добавил чисел силу
И геометрию познал.

Потом провёл он в Вавилоне
Не менее, чем десять лет.
Узнал планет там ход и более
К Вселенной вёл всех чисел след.

Истоки, принципы, законы
Впитал умом он для себя
И вывел новые каноны -
Учился годы он не зря.

Был геометром Пифагор
И числа видел, как структуры.
Квадраты, кубы - их набор
И их пропорции культуры. 

Вся философия его
Была гармонией от чисел.
Звук, издаваемый струной
Связал с планет движения смыслом.

Открыл он школу философии
(Название это он ей дал),
И правила ввёл очень строгие -
Во всём был чисел идеал.

Он был философом от бога
(Или от множества богов).
Была трудна его дорога -
Убит толпой - итог таков.

О нём легенды и предания,
Учения, мистики квадрат…
Вся цель его - стремление к знанию!
Столетий двадцать пять назад.



ПРЕЦЕССИЯ ГИПАРХА

Планета наша, как волчок,
Вращается с большим уклоном
И ось, немного на бочок,
Проходит круг «Платона годом».  (1)

Усилия Солнца и Луны
На ось влияют изменение
“Прецессия” - зовем так мы
Такое космоса явление.     (2)

Земная ось цикл завершит
Почти за три тысячелетия,
Гиппарх увидел в этом смысл
И объяснил другим, как детям. (3)

Ввёл широту и долготу,
Оценку звёзд дал по их свету,
Но всё ж понять я не могу,
Расчёт прецессии умным греком. 

Он расстояния до Луны
И Солнца дал и очень точно...
Но вот прецессия ... Увы
Её нельзя увидеть очно. 

А это значит зодиак
Пойдёт иначе через годы
И гороскоп уже не так
Предскажет мне и вам дорогу.

И что Полярная Звезда
Потом нам Север не укажет.
И Южный Крест на Юг тогда
Конечно тоже не покажет.   (4)

Стояли звёзды, как сейчас
Во времена Гомера, Трои...
Светили звёзды, как у нас
Богам античным и героям.

Вершит планета свой полёт,
Шар голубой летит по кругу…
“Где эта улица…”, кто-то поёт…
Как далеки и как близки друг к другу?


(1) Платонический год представляет собой период времени, который необходим для одного полного прецессионного оборота.  Иногда называется "большим годом" (great year).

(2) Планета Земля не является идеальной сферой, она сплюснута у полюсов и выпукла у экватора. В результате неравномерного гравитационного влияния Луны и Солнца, земная ось колеблется (прецессия). Период прецессионного колебания составляет приблизительно 25800 лет.

(3) Гиппарх Никейский - величайший древнегреческий астроном. Родился около 190 г. до н.э. в Никее (ныне город Изник, Турция), жил и работал на Родосе, проводил наблюдения в период 162-127 гг. до н.э. умер приблизительно в 120 г. до н.э.

В своих трудах Гиппарх разработал :
        проблемы календаря,
        первым исследовал прецессию,
        составление звездного каталога,
        изучение движений планет,
        определил дистанции до Солнца и Луны.

(4)  Из-за этого земная ось «указывает на различные звезды». Если сейчас земная ось указывает на Полярную звезду, то 5000 лет назад она указывала на звезду Альфа Дракона, а 8000 лет спустя будет указывать на Вегу.

Прецессионное движение ответственно за изменение местоположения Равноденствий и Солнцестояний. Древние астрономы открыли прецессионное движение по смещению созвездий и вычислили, что длина Цикла равна от 25600 до 26000 лет. Это означает, что Солнце, которое отмечает Весеннее Равноденствие, появляясь в созвездии Рыб, через 500 лет будет восходить в созвездии Водолея. Пойдя через все 12 зодиакальных созвездий, примерно через 25800 лет Солнце снова будет восходить в созвездии Рыб.




АКСИОМА АРХИМЕДА

Где материя, там геометрия.
         —  Иоганн Кеплер

Просты предельно аксиомы,
Но не всегда они верны.
Что очевидно и знакомо
Не подтверждается, увы…

Их применение  условно
В границах, что определены.
Вне их они - “не аксиомны”
Иначе, просто не верны.

Так параллельные прямые,
(Что по Евклиду - пятый пункт), 
У Лобачевского другие,
И Риман тоже им не друг.   

Но есть другая аксиома
По Архимеду названа,
Хотя принадлежит Евдоксу   ,
Столетием раньше, вот дела.

К нам не дошли его работы,
О них мы знаем от других.
А жаль, история однобока,
И много было их таких.

Вернёмся к аксиоме этой -
Она проста, как муравей:
А много муравьёв приметой
Слона закроют с тушей всей. 

Проста и даже тривиальна
Та аксиома, но постой
Для чисел бесконечно малых
Она является пустой.   

Мораль - не всё, что очевидно,
Святая правда для всего.
Плюс мне за автора - обидно,
Хоть двадцать пять веков прошло...




 Для отрезков аксиома Архимеда звучит так: если даны два отрезка, то, отложив достаточное количество раз меньший из них, можно покрыть больший.

Утверждение аксиомы Архимеда кажется тривиальным, но её подлинный смысл заключается в отсутствии бесконечно малых и/или бесконечно больших величин.




ГРАДУС

Gradus (lat) -шаг.

Известно в Вавилоне древнем,
Что Солнца диск пройдёт за день
Шагов сто восемьдесят в среднем,
За сутки - вдвое и не лень.

С тех пор окружность, циферблаты
По-вавилонски делим мы.
Дань с уважением оплаты
Той мере, что пришла из тьмы.

Теперь без градусов нет карты,
Нет геометрии вообще,
Температуры нет,  для старта
И алкоголя тоже нет.


Вавилонские жрецы заметили, что солнечный диск укладывается по дневному пути солнца 180 раз (шагов).



ФРАКТАЛЫ

Из современной геометрии: генеральная линия не состоит из бесконечного числа точек зрения.
           —  Станислав Ежи Лец


У геометрии Евклида
Отличны формы от природы,
Всё идеально и картинно
Круг и квадрат, и треугольник.

Есть геометрия фракталов
Котрой следует природа -
“Самоподобие в разных шкалах"
И в облаках, снежинках, кронах.

И кровеносная система
И альвеолы наших лёгких,
Подобна всё фрактальной теме
В растениях, людях и животных.

По ним растут на дне кораллы,
Морские звёзды и ежи,
И берега всех океанов,
А также горные хребты.




УДВОЕНИЕ

Когда мне исполнилось два года, я очень волновался, потому что за год удвоил свой возраст. Я подумал, если так продолжится, к шести годам мне будет за шестьдесят.
   - Stephen Wright

Есть удвоение - закон жизни!
Так клетки делятся, растут.
Возможно, строятся так мысли -
Икринкой, брошенною в пруд.

Растут цветы так и деревья,
Цепной реакции процесс,
Задачи есть на удвоение,
Закон компьютеров, что крут.

По этому закону Мура
Удваивают года в два
Компьютеры свою структуру,
Как память, мощность без труда.

Логарифмически умнеют,
Всё догоняя мозга мощь.
Уже и в шахматы умеют,
Гроссмейстерам нельзя помочь.

Есть геометрия фракталов
От Мальденброта Бенуа,
Там удвоение по шкалам
От муравья и до слона.

Фрактально делится природа!
Ни Лобачевский, ни Евклид
Не ожидали того хода,
А удвоение дало сдвиг.

Всему предел есть. Это знаем.
Но до него нам далеко.
Мир - удвоением проверяем.
Мы знаем много. Что с того?

09-19-21



Закон Мура (англ. Moore's law) — эмпирическое наблюдение, изначально сделанное Гордоном Муром, согласно которому (в современной формулировке) количество транзисторов, размещаемых на кристалле интегральной схемы, удваивается каждые 24 месяца.





КОСАЯ САЖЕНЬ

Если народ пьющий, то и сажень у него косая.
        - Владимир Поляков

В России мерили аршином
И саженью порой косой.
А измерение носили
Как и положено - с собой.

Ещё известны пядь, вершок,
Ладонь и шаг, что так вместимы.
И мерили на локоток
Но только взрослого мужчины

Мы знаем, что любой народ
Имел свой метр иль ярд размерный,
Но только пьющий “до того”
Косою саженью примерный.


Сажень и косая сажень вышли из употребления после принятия метрической системы мер. Проект ее внедрения для нашей страны разработал Д.И. Менделеев, и она была прията как рекомендательная в 1899 году, в 1917 году Временное правительство приняло метрическую систему мер и весов как обязательную, и в 1925 году это подтвердила и Советская власть постановлением Совета Народных Комисаров от 21 июля.

В Древней Руси применялась не одна, а множество разных саженей:

городовая сажень ; 284,8 см;
большая сажень ; 258,4 см[3];
греческая сажень ; 230,4 см;
казённая (мерная, трёхаршинная) сажень; 216 см;
кладочная сажень ; 159,7 см;
косая сажень ; 248,9 см;
малая сажень ; 142,4 см;
маховая сажень = 2,5 аршина ; 152—177,8 см;
морская сажень ; 183 см;
простая, или прямая сажень ; 152,8 см;
сажень без чети ; 197 см;
трубная сажень ; 187 см;
царская сажень ; 197,4 см;
церковная сажень ; 186,4 см.

Известны также: сажень аршинная, береговая, государева, дворовая, землемерная, казачья, коловратная, косовая, крестьянская, лавочная, мостовая, небольшая, новая, ножная, печатная, писцовая, полная, простая, ручная, степенная, ступенная, таможенная, указная, ходячая, человечья и другие.

Главная особенность  древнерусской измерительной системы заключается в том, что уменьшение (увеличение) мерности инструмента, получение измерительных стержней масштаба меньшего (большего), чем сажень, производилась последовательным делением (умножением) соответствующей сажени на 2 (раздвоение, удвоение).





ГЕОМЕТРИЯ ВРЕМЕНИ-ПРОСТРАНСТВА МИНКОВСКОГО

Человек - это часть Вселенной, ограниченная во времени и в пространстве
                - А.Эйнштейн


Для нас, чтоб описать пространство,
Нужны все три координаты,
Для Времени, и это это странно,
Достаточно одной лишь даты.

В цивилизации древних греков
Пространство было лишь основой
И в геометрии наших предков
О времени там нет ни слова.

Зенона были парадоксы,
Они загадочны шарады,
Но временем они серьёзно
Не занимались.  Жаль. А надо.

Сегодня знаю две теории:
Одна - живёшь единым мигом,
В "сейчас". Ты не изменишь "прошлое"
И "будущее"не под силу.

В другой - "Пространство-Время" вечно
И существует всё всегда.            (1)
"Сейчас" - лишь точка в этой сети,
Другую выбрать есть нам шанс.
 
И к каждой точке той системы
Четыре есть координаты,
Пространство-время там едины,
Там есть "квадраты-интервалы".     (2)

На временной оси скользя,
Возможно вроде, как по карте
Вернуться в прошлое "вчера"
И заглянуть, что будет "завтра".

Парадоксально, очень сложно,
Никто такого не видал.
Но интересно - невозможность
Ещё никто не доказал!

У всех физических законов
Есть симметричность направления
И в "будущем" вы или в "прошлом"
В них не должно быть изменения.

В нём конус прошлого события
Сошёлся в точке: "Здесь-Сейчас"
И то, что будим из "Небытия"
Рождает миг и прошлый час!


(1) Пространство Минковского ; четырёхмерное псевдоевклидово пространство, предложенное в качестве геометрической интерпретации пространства-времени специальной теории относительности.

(2) Каждому событию соответствует точка пространства Минковского, где три координаты представляют собой декартовы координаты трёхмерного евклидова пространства, а четвёртая ; координату времени.
Связь между пространственными расстояниями и промежутками времени, разделяющими события, характеризуется квадратом интервала.



ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ
И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ


Природа ничего не делает напрасно и во всех своих проявлениях избирает кратчайший или легчайший путь.
        - Аристотель

Природа всегда действует наиболее короткими путями. 
       - Пьер Ферма

Кратчайший путь берёт луч света
От точи А до точки Б.
Как узнаёт его? Об этом
Мы поведём рассказ в стихе.

Природа следует законам,
Что эффективны и просты -
Кратчайший путь, ведущий к дому,
Примером этой красоты.

Другим примером - энтропия,
Чтоб максимальная была.
Энергии минимум стихия
Чтобы система отдала.

Когда вам очень интересно
Найти какой-нибудь экстрим
Где максимум чего-то местный
Иль минимум найти хотим.

Вот эта область и зовётся
Как “вариации задач”.
Её не учит кто придётся,
У многих вызывала плач.

Природа этот принцип знает
И следует ему во всём -
Усилия меньше применяет -
Мы путь короче не найдём.

Так все законы сохранения
И преломления луча
Без вариаций вычисления
Нам не найти, попытки - зря.

Заметил Аристотель это,
Ферма научно подтвердил,
Дал метод Эйлер одним летом,
Лагранж формально утвердил.

Теперь механика движения
И свойства квантовых полей
Используют эти уравнения!
Природе и без них видней.


Принцип наименьшего действия (ПНД) утверждает:
система ведёт себя таким образом, чтобы ее «действие» было минимальным (или максимальным) из всех возможных при данных условиях.

"Многие законы механики и физики сводятся к утверждению, что некоторый функционал в рассматриваемом процессе должен достигать минимума или максимума. В такой формулировке эти законы носят название вариационных принципов механики или физики.
К числу таких вариационных принципов или простейших следствий из них принадлежат: принцип наименьшего действия, закон сохранения энергии, закон сохранения импульса, закон сохранения количества движения, закон сохранения момента количества движения, различные вариационные принципы классической и релятивистской теории поля, принцип Ферма в оптике,  т.д."
          - Эльсгольц Л.Э




АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ РЕНЕ ДЕКАРТА

Всё вокруг — геометрия!
        —  Ле Корбюзье


Есть в философии фигуры
Определившие эпоху
Рене Декарт есть для французов
Почти равна Наполеону.

Мыслитель первого разряда
Он не доверялся чувствам,
Лишь мысль бала его отрадой:
"Он мыслил - значит существует"

И реализма направление
Он в философии оставил,
За ним пошли Спиноза, Лейбниц
Ох многих он на путь направил.

Оставил нам координаты -
"Картезиан" зовем мы их
В них геометрия и алгебра
Слились. Так график и возник.

Но не во всем был прав философ:
Не верил в вакуум совсем,
Он твердо знал - душа хранится
Вся в щитовидной железе. 

Он верил, что лишь умозрением
Вполне возможно мир познать,
Что мир весь как часы заведен,
И можно все в нем предсказать.

Мы знаем, что не всё так просто.
Нам объяснил Эйнштейн и Бор,
Всё относительно, вопросно…
С Декартом выиграем спор.

Но все решения в геометрии
Аналитическим путём
Декарту дань мы не измерим
Мы бесконечность видим в том.




ГЕОМЕТРИЯ В ИСКУССТВЕ

Вдохновение нужно в поэзии, как в геометрии.
       —   Пушкин

Есть геометрия в искусстве
И даже кто с ней не знаком
Использует её искусно
Пусть подсознательно при том.

Пропорции и перспектива,
Сечения золотого вид
От Пифагора и Евклида,
Египта древних пирамид.

И Фибоначчи отношение,
Соборов стройных купола,
Математически решения
Природа нам сама дала.

Колонны храмов древних греков,
Скульптур пропорции пример,
Не важно - стадию, как веху
Иль сажени косой размер.

Мелодии трубы и арфы,
Есть звуковой волны пример.
Пропорции скульптур и арок
И куполов седых размер. 

Необходимость геометрии
Разливы Нила вызывали -
Восстановить межу без трений..
Крестьяне это понимали. 

Торговля, счёт, расчет в верблюдах -
Как пять верблюдов за жену,
Так математика повсюду
Примеров много на виду,