Мнимая единица i

* * *
Докажем, что мнимая единица i таки-равна плюс-минус единице:

(PDF) https://disk.yandex.ru/i/q7_NDHT6YzlmsA

(2021)

ПРИМЕЧАНИЯ

"Значит, если из i*i=-1*1 следует i=+-1, то из (-1)(-1)=(+1)(+1) следует -1=1?
А из (-a)(-a)=(+a)(+a) следует -a=a?"

1. Это было бы так, если бы два избыточных минуса в левой части приведённого
выше примера нельзя было вынести за скобки, где они превращаются в плюс. То же
относится и к выражению (-a)(-a)=(+a)(+a), которое после вынесения минусов за
скобки вырождается в тавтологию a=a, но никак не а=-а. После этого правило
приравнивания, применённое для выражения i*i=-1*1, работает вполне корректно,
дважды приводя к тождеству a=a. Можно не выносить минусы за скобки, а добавить
их внутрь, с тем же результатом:

(-a)(-a)=(-(-a))(-(-a))=(+a)(+a), откуда a=a.

2. Суть проблемы не в способе приравнивания элементов, входящих в выражение
i*i=-1*1, а в наличии минуса в его правой части. Мало того, что в ней модули
сомножителей равны, так ещё и знаки их различны (чего нет в приведённых выше
новых примерах). По тем же причинам отпадает и предыдущий пример 6*6=2*18,
из котого не следует, что 6=2 и 6=18, поскольку в нём и модули сомножителей
не равны, и знаки их совпадают.

3. Противоречие, заключённое в понятии мнимой единицы, с точки зрения
вещественных чисел, заключается в том, что квадрат любого вещественного числа
(независимо от его знака и величины) не может быть отрицательным! Это настолько
вопиющее противоречие, что по силе оно не уступает противоречию 1=-1. Каждое из
них совершенно невозможно представить, оставаясь в пределах вещественной оси.
Но как только появляется вещественная ось, перпендикулярная исходной, всё
проясняется.

4. "Новая" единица i располагается на одинаковом расстоянии от "старых" +1 и -1,
и по модулю равна 1. Любое мнимое число i*n отличается от вещественного числа n
только наличием постоянного множителя i, который выполняет роль нестираемого
маркера, не позволяющего "старым" и "новым" числам смешиваться при вычислениях.
Поэтому любое i*n на "новой" оси можно задать с помощью пары чисел +n и -n со
"старой" оси. Так впервые появляется связь между i (с одной стороны) и +1, -1
(с другой).

5. Но не будем мелочиться! Если нет доверия к визуальному методу приравнивания
элементов равенства i*i=-1=-1*1, можно доказать выражение i=+-1 другим способом:

См.: https://disk.yandex.ru/i/KkVGThkcXalV2Q

(2021)