Мнимые числа Im из вещественных Re

* * *
Все мы знаем, что мнимые числа впервые появляются при решении квадратных
уравнений, дискриминант которых меньше нуля. Попадая под знак квадратного корня,
он порождает понятие мнимой единицы i, которая сопровождает мнимые числа в виде
множителя и является их единственным отличием от действительных чисел: Im=Re*i.

Оказывается, существует гораздо более простой и наглядный способ ввести понятие
мнимых чисел. Он прямо следует из определения мнимой единицы i, квадрат которой
равен минус единице: i*i=-1=-1*1, откуда i=+-1, поскольку i=i.

Совместив две идентичных, но противоположно направленных вещественных числовых
оси (Re) с общим нулевым началом координат получают гибридную (двойную, спаренную)
ось, каждая точка которой характеризуется парой чисел, одинаковых по модулю
и противоположных по знаку.

Но это в точности то, чем является мнимая ось Im, каждая точка которой отличается
от вещественной оси Re лишь наличием множителя i=+-1. Самое смешное, что точно
таким же способом можно получить вещественную ось Re из двух противоположно
направленных мнимых осей Im, поскольку из i=+-1 следует, что 1=+-i.

Последнее указывает на отсутствие права первородства у вещественных чисел Re,
которые вместе с мнимыми образуют пару (Re/Im), подобную паре "курица/яйцо".
Мнимые числа являются тенью вещественных, а вещественные – тенью мнимых.
Но не бывает тени без источника света, поэтому они также являются источниками
друг друга.

Существует три типа плоскостей: вещественные (Re/Re), мнимые (Im/Im) и
комплексные (Re/Im). Замена их одинарных осей одноимёнными (противоположно
направленными) двойными осями приводит к следующим превращениям:

(Re/Re)-->(Im/Im); (Im/Im)-->(Re/Re); (Re/Im)-->(Im/Re).

(2021)


* * *
IMAGINARY NUMBERS (Im) FROM REAL NUMBERS (Re)

We all know that imaginary numbers first appear when solving quadratic equations,
the discriminant of which is less than zero.

Falling under the square root sign, the negative discriminant generates the
concept of an imaginary unit i, which accompanies imaginary numbers in the form
of a factor and is their only difference from real numbers: Im=Re*i.

It turns out that there is a much simpler and more intuitive way to introduce
the concept of imaginary numbers. It follows directly from the definition
of the imaginary unit i, the square of which is minus one: i*i=-1=-1*1,
whence i=+-1, since i=i.

By combining two identical, but oppositely directed real number axes (Re) with a
common zero origin, a hybrid (or double, or paired) axis is obtained, each point
of which is characterized by a pair of numbers that are identical in magnitude
and opposite in sign.

But this is exactly what the imaginary axis Im is, each point of which differs
from the real axis Re only by the presence of the factor i=+-1. The funny thing
is that in exactly the same way you can get the real axis Re from two oppositely
directed imaginary axes Im, since from i=+-1 it follows that 1=+-i.

The latter indicates the absence of the birthright of the real numbers Re, which
together with the imaginary ones form a pair (Re/Im), similar to the pair
"chicken/egg".

Imaginary numbers are a shadow of real numbers, and real numbers are a shadow
of imaginary ones. But there is no shadow without a source of light, so they are
also sources of each other.

There are three types of planes: real (Re/Re), imaginary (Im/Im) and complex
(Re/Im). Replacing their single axes with the same (oppositely directed) double
axes leads to the following transformations:

(Re/Re)-->(Im/Im); (Im/Im)-->(Re/Re); (Re/Im)-->(Im/Re).

(07-08-21)