Беседа 7 Хозяева идей неевклидовой геометрии

(Лобачевский, Гаусс, Больяй). Начало седьмой беседы.
 

    Истинными творцами первой в мире неевклидовой геометрии были три крупнейших математика мира - рус Николай Лобачевский, немец Карл Гаусс и венгр Янош Больяй, причём, приоритет наиболее полного освещения в печати принадлежит нашему соотечественнику, именем которого эта геометрия и называется.

    Хотя Лобачевский по своей значимости и стоит на первом месте, тем не менее лучше начинать не с Лобачевского, а с Гаусса.

    Если неевклидову геометрию представить в виде большого древа, то исследования Гаусса относятся скорее к корням этого дерева, исследования Больяй - к ветвям, исследования Лобачевского - ко всему дереву в целом.

    Карл Фридрих Гаусс ( 1777 - 1855 г.) - крупнейший немецкий математик - вошёл в историю развития неевклидовой геометрии как один из первых её зачинателей, видевший горизонты этой науки. Но, к сожалению, дальше общих соображений, высказанных в в частных письмах к отдельным учёным, и то под большим запретом их обнародования, он не пошёл. Всякую работу в этом направлении Гаусс считал преждевременной, так как учёный мир, по его мнению, ещё не подготовлен к восприятию новых идей, а их необычность может истолковываться отнюдь не в пользу тех смелых авторов, которые выскажут свою точку зрения до конца.

    Гаусс не только боялся публикации своих идей по новой геометрии, но страшился публично поддерживать тех, кто занимается этим вопросом и обращался к нему за помощью и советом. Во всех этих случаях Гаусс предпочитал хранить "гордое молчание".

    Видимо, и у Гаусса дело не обошлось без попыток доказать 5-й постулат. В 1792 году Гаусс приходит к правильному выводу о невозможности доказать 5-й постулат. По этому поводу в одном из своих писем Гаусс говорил: "Допущение, что сумма углов треугольника меньше 180 градусов, приводит к своеобразной, совершенно отличной нашей, евклидовой геометрии; эта геометрия совершенно последовательная, и я развил её для себя совершенно удовлетворительно".

    В 1817 году в письме к Ольберсу Гаусс писал: "... Я прихожу всё более к убеждению, что необходимость нашей геометрии не может быть доказана, по крайней мере человеческим рассудком и для человеческого рассудка".

   В 1819 году в письме к Герлингу Гаусс писал уже о своих достижениях в области неевклидовой геометрии: "Я развил астральную геометрию так далеко, что могу решить все задачи, как только мне будет дана константа - С". Эта постоянная С, оказывается, действительно существует, и её позднее установил Лобачевский.

   После смерти Гаусса в 60-х годах прошлого столетия было опубликовано эпистолярное наследство великого учёного, куда вошла и его переписка, посвящённая неевклидовой геометрии.

   Гаусс даёт высокую оценку Швейкарту, Тауринусу,Больяй и Лобачевскому, в особенности двум последним, за их смелую и серьёзную работу в этом направлении.

   Насчёт Лобачевского в письме Шумахеру (1846 г. ) Гаусс писал: "Вы знаете, что уже 54 года ( с 1792 года ) я разделяю те же  взгляды, с некоторым  о которых не хочу здесь упоминать; таким образом я не нашёл для себя в сочинении Лобачевского ничего фактически нового. Но в развитии предмета автор шёл не п тому пути, по которому шёл я сам; оно выполнено Лобачевским мастерски в истинно геометрическом духе. Я считаю себя обязанным обратить Ваше внимание на это сочинение (Геометрические исследование по теории параллельных линий", написанное Лобачевским на немецком языке и изданное в Берлине в 1840 году ), которое, наверное, доставит вам совершенно исключительное наслаждение".

   Однако, как увидим далее, и по отношению к Лобачевскому Гаусс остался "молчаливым сфинксом" и не осчастливил его положительным отзывом, который, несомненно, был бы большой поддержкой в неравной борьбе против рутины и косности в науке за признание новых идей геометрии.

   Вообще Гаусс не торопился поддерживать новые идеи. Когда бывший ученик и друг него Христиан Герлинг, перерабатывая учебник математики Лоренца, встретил неясность и логическую несостоятельность в учении о параллельных линиях, то обратился к Гауссу за советом. В письме от 2 июля 1818 года он пишет Гауссу:
"Я считаю правильным, что излагать это, то есть учение о параллельных линиях, нужно по методу Евклида, однако учитывая его недоказуемость. Но как это сделать, мне не ясно. Я считаю, что было бы лучше привести в качестве аксиомы предложение: "Через точку вне прямой линии можно провести к ней только одну параллельную ей прямую линию (аксиома Плейфера - примечание автора); в примечании же нужно указать, что доказательство этого предложения до сих пор найти не удалось, поэтому необходимо принять это предложение за аксиому, пока кто-либо не найдёт его доказательства или не обнаружит его неправильность".

   Гаусс в послании своего друга усмотрел "крамолу" и в ответном письме от 25 сентября 1818 года предостерёг его в следующих выражениях: "Я очень рад, что Вы имеете мужество высказаться так, как будто Вы признаёте возможным, что наша теория параллельных линий, а следовательно, и наша геометрия, ложна. Но осы, гнездо которых Вы разрушаете, подымутся над Вашей головой".

   Мастистый учёных боялся общественного мнения и не хотел будоражить "осиные гнёзда", предпочитая жить, сообразуясь с обстоятельствами. В то время, когда Лобачевский опубликовал развёрнутое учение о неевклидовой геометрии, Гаусс всё ещё медлил и боялся перенести на бумагу свои мысли. В январе 1829 года он писал Бесселю: "Вероятно, я ещё не скоро смогу обработать свои пространные исследования по этому вопросу, чтобы их можно было опубликовать. Возможно даже, что я не решусь на это всю свою жизнь, потому что я боюсь крика беотийцев, который поднимется, когда я выскажу свои воззрения целиком".

Примечание: беотийцы - обитатели Беотийской области (Древняя Греция ), отличающиеся грубостью, невежеством и тупой непримиримостью.

   "Крика беотийцев" Гаусс избежал, но тем самым он в какой-то мере явился тормозом в развитии неевклидовой геометрии.

   И совершенно по другому было бы, если бы "король математиков" в  своё время, через печать, открыто поддержал идеи, высказанные Лобачевским и его предшественниками. И совершенно по другому было бы, если сам Гаусс опубликовал бы свои исследования по неевклидовой геометрии. Трудно судить его, но верно одно, что день рождения неевклидовой геометрии наступил бы не 23 февраля 1826 года, а гораздо раньше, при жизни Гаусса, Лобачевского и Больяй.

   Но, к сожалению, этого не случилось.

Если в истории развития неевклидовой геометрии Гаусс играл пассивную и сдерживающую роль, то другой точки зрения придерживался венгерский учёный Янош Больяй ( 1802 - 1860 г. ), сын профессора Фаркаша Больяй, близкого друга Гаусса. Отец Яноша учился вместе с Гауссом в Геттингенском университете, там они вместе увлекались теорией параллельных линий и под сводами "Альма матер" поклялись в вечной и нерушимой дружбе, девизом которой была такая поучительная фраза:
"Не бросай друга в беде и приходи в нужную минуту ему на помощь".

   Письменная связь и рассказы о себе были непременным условием этой дружбы. Однако жизнь внесла свои коррективы во взаимоотношения Гаусса и Больяй-отца, когда они стали учёными: один - научной звездой первой величины, профессором того университета, в котором учился, другой - рядовым профессором коллегии небольшого венгерского городка Марош-Вашаргеля.

   Со временем узы их дружбы значительно ослабли. Если в первое время переписка между Больяй и Гауссом была оживлённой, то позднее она пошла на спад и в конце концов стала вестись от случая к случаю, с перерывами, исчисляемыми годами.

   Гаусс стал уравновешенным учёным, устами которого говорила сама мудрость. Он целиком и полностью посвятил себя служению математической науке и бывал очень недовольным, когда какие-нибудь причины мешали ему это делать. Он даже тяготился лекциями, которые ему приходилось читать студентам, так как они отвлекали его от занятий научной работой.

   Что касается Фаркаша Больяй, то он по-прежнему расточал своё время: интересовался различными сторонами жизни, много времени уделял студентам, составлению математического пособия для юношества и только иногда занимался научными исследованиями, которые были связаны главным образом с проблемой 5-го постулата.  Больяй-отец увлекался также поэзией и в одно время писал драматические произведения. Порой он переключался на музыку и очень любил заниматься сельским хозяйством. Ясно, что математике он отводил не очень много времени и на поприще научном далеко отстал от своего геттингенского друга.

   Детство и юность Яноша Больяй прошли в доме отца. Образование он получил в коллегии, где отец был профессором математики. Математические способности молодой Янош унаследовал от отца, а непоседливость и экспансивный характер - от матери, отличающейся повышенной нервозностью и вспыльчивостью.

   Кроме математики, Янош любил ещё музыку. К игре на скрипке он пристрастился с раннего детства и не расставался с этим инструментом в течении всей жизни, находя в его мелодиях, то грустных, то весёлых, смотря по настроению, утешение, которое ему было так необходимо.

   Когда Янош подрос и закончил коллегию, перед отцом встала проблема - куда определить сына на дальнейшую учёбу. И тут Фаркаш Больяй вспомнил Гаусса. Он написал Гауссу письмо с просьбой, чтобы тот взял его сына в свою семью и определил для продолжения образования в Геттингенский университет, конечно, за денежное вознаграждение. На этот раз Гаусс впервые нарушил "святая святых" юношеской клятвы о нерушимой дружбе. Гаусс без всякого объяснения посчитал нужным отделаться молчанием. Пришлось определить молодого Яноша в военно-инженерную академию в Вене, тем более что отец чувствовал стеснённость в деньгах, а там образование давалось за казённый счёт.

   А как быть с математикой, которой увлекался Янош? Отец успокоил сына: в программах военно-инженерной академии математика занимает солидное место, кроме этого, недостатки в математической подготовке можно восполнить самостоятельной работой, были бы интерес и увлечённость предметом.

   Итак, Янош стал слушателем военно-инженерной академии. И тут выяснилось, как он любил математику и как равнодушен к офицерской карьере. Нет, не могла академия из прирождённого математика сделать офицера. Увлечённый математическими проблемами, он сторонился своих коллег, отвергал их дружбу и предпочитал уединение, снискав славу неуживчивого эгоиста с тяжёлым и вздорным характером.

   Наступил 1823 год. Янош Больяй произведён в лейтенанты. Однако это не сделало из математика офицера. Он по-прежнему пренебрегал правилами и обычаями офицерской жизни. Это приводило к конфликтам с сослуживцами. Дело доходило до ссор, которые разрешались дуэлями. Был случай, когда в один день Больяй получал двенадцать вызовов. Янош принял вызовы с тем условием, чтобы после каждого поединка вместо передышки ему была предоставлена возможность поиграть на скрипке. Во всех схватках он победил.

   До отца дошли известия, что сын неуживчив в коллективе и ведёт опасную игру с жизнью. Но не это встревожило Больяй-отца. Его испугало то, что сын под влиянием давних разговоров с отцом стал заниматься проблемой 5-го постулата, которая многим стоила жизни, а ему, профессору, принесла полное разочарование. Ему вспомнилось, как много он потратил сил для решения этой проклятой проблемы и как мало преуспел. И отец решил оградить сына от этой напасти.

   Фаркаш Больяй пишет письмо, в котором не только просит, но буквально молит сына не повторять ошибок отца, за которые приходится расплачиваться потерей здоровья и полной неудовлетворённостью. Вот содержание этого письма:

   "Ты не должен пытаться одолеть теорию параллельных линий на этом пути; я знаю этот путь, я проделал его до конца, я пережил эту беспросветную ночь и всякий светоч, всякую радость моей жизни я в ней похоронил. Молю тебя, оставь в покое учение о параллельных линиях; ты должен его страшиться, как чувственных увлечений; оно лишит тебя здоровья, досуга, покоя - оно погубит всю радость жизни. Эта беспросветная мгла может поглотить тысячу ньютоновских башен и никогда на земле не прояснится; никогда несчастный род человеческий не достигнет совершенной истины,- даже в геометрии. Да хранит тебя бог от этого увлечения, которое тобой овладело. Оно лишит тебя радости не только в геометрии, но и во всей жизни. Я был готов сделаться мучеником этой истины, чтобы только очистить геометрию от этого пятна, чтобы передать роду человеческому безукоризненную науку. Я проделал ужасную, гигантскую работу; я достиг много лучшего, чем то, что было получено до меня; но совершенного удовлетворения не получил!"

   Но запретный плод сладок. Янош решает доказать отцу и Гауссу, на что он способен. Если они не смогли осилить 5-й постулат, то он решит эту проблему. Янош вспомнил слова Сенеки: "Почитай мужей, много дерзающих, даже если они терпят крушение".  Дерзать,так дерзать! - и Больяй-сын с головой уходит в дебри теории параллельных линий.

   В 1820 году Янош писал отцу о своих попытках одолеть теорию параллельных линий не иначе как доказав 5-й постулат, чем привёл отца в отчаяние, а через пять лет он сообщил отцу, что овладел началами новой геометрии и дело остаётся за оформлением работы и доведением до конца отдельных частей. Янош знал, что отец готовит для печати двухтомное сочинение "Тентамен", и торопился оформить полученные результаты к этому сроку, чтобы опубликовать их в качестве приложения к первому тому этого сочинения.

   Отец пошёл навстречу сыну. Было решено, что исследование появится отдельным приложением к первому тому названного выше сочинения. Поскольку "Тентамен" ( в переводе "Опыт" ) издавался на латинском языке, то и работа Яноша была написана тоже на латинском языке и получила название "Аппендикс", что в переводе означает "приложение".

   В 1832 году первый том "Тентамена" был опубликован, а вместе с ним увидел свет и "Аппендикс".

   Хотя отец Яноша Больяй всю жизнь занимался теорией параллельных линий, он так и не смог понять работы сына, без единого лишнего слова и с минимумом пояснительных чертежей. Одни формулы и совсем немного текста.

   Если критики с большей или меньшей похвалой отнеслись к "Тентамену", то "Аппендикс" они обошли молчанием. И это вполне понятно - просто они не поняли работу Яноша, новизна идей и стиль изложения который им были недоступны. Тогда они решили послать работу Гауссу. Он-то уж разберётся в новых идеях, а его мнение дороже мнения всех учёных Европы, взятых вместе.

  Больяй немедленно послал отдельный оттиск "Аппендикса" в Геттинген, но посылка, как на грех, затерялась в дороге. Пришлось подготовить новую. На этот раз посылалась вся книга вместе  с приложением. В сопроводительном письме Фаркаш Больяй просил старого друга ознакомиться с его работой и особенно внимательно проанализировать работу сына. Гаусс получил книгу, но с ответом не спешил.

   Только через шесть месяцев был получен долгожданный ответ. Можно представить себе, с каким волнением был вскрыт конверт с геттингенским штемпелем... Добрая половина письма была посвящена дружеским излияниям и разного рода новостям. И вот наконец долгожданное: "Теперь кое-что о работе твоего сына... Если я начну с того, что я эту работу не должен хвалить, то ты, конечно, на минуту поразишься: но иначе я не могу: всё содержание сочинения, путь, по которому твой сын пошёл, и результаты, которые он получил, почти сплошь совпадают с моими собственными достижениями, которые частично имеют давность в 35 лет. Я, действительно, этим в высшей степени поражён. Моим намерением было о моей собственной работе, которая, впрочем, до настоящего времени очень мало нанесена на бумагу, при жизни ничего не публиковать. Большинство людей не имеют правильных воззрений на те вопросы, о которых здесь идёт речь; я нашёл лишь мало людей, которые с особым интересом отнеслись к тому, что я сообщил по этому предмету. Чтобы быть в состоянии это усвоить, нужно прежде всего весьма живо прочувствовать то, чего здесь собственно не хватает, а это большинству людей совершенно не ясно. Однако я имел намерение со временем изложить всё это на бумаге в такой форме, чтобы эти идеи, по крайней мере, не погибли со мной. Таким образом, я чрезвычайно поражён тем, что эта работа с меня снимается, и я в высшей степени рад, что именно сын моего старого друга предупредил меня таким замечательным образом".

   Растроганный отец радовался: его сын решил проблему, которая, быть может, посильна одному Гауссу. И кто об этом говорит - сам Гаусс. Но сын не разделял радости отца. Заподозрив Гаусса в недоброжелательности и зависти, Янош решил, что Гаусс хочет вырвать приоритет открытия из его рук. Если Гаусс действительно давно владеет открытием, так почему же он не опубликовал его до сего времени? Боится, что его не поймут? эти доводы показались Яношу совершенно неубедительными. Разве в этом состоит предназначение учёного? Его предназначение - искать истину и всемерно помогать тем, кто к этому стремится. Нельзя науку оставлять в летаргии потому, что среди учёных есть недалёкие люди и невежды. Умонастроение Гаусса и ему подобных Янош называл противоестественным и бессмысленным.

    По его мнению, дело чести - поддерживать каждую свежую мысль, от кого бы она ни исходила. Особенно нуждаются в этой поддержке молодые учёные, которые на стезях науки делают первые шаги. Надо уметь радоваться успехам, а не гасить эту радость. Надо уметь давать широкую дорогу смелым начинаниям, а не строить им преграды боязливым сожалением по поводу недостаточного образования людей.

   Письмо Гаусса нарушило былые взаимоотношения Яноша с отцом. Отец пытался оправдать Гаусса, и Янош навсегда покинул родной дом.

   Но судьба готовила Яношу новый удар. 17 октября 1848 года он получил от отца трактат Лобачевского "Геометрические исследования по теории параллельных линий", написанный, на немецком языке и изданный в 1840 году в Берлине. Сначала Янош заподозрил, что под именем Лобачевского скрывается "геттингенский колосс" Гаусс, обработавший его теорию на свой лад и опубликовавший её под вымышленным именем. Однако, читая трактат, он понял, как далеко вперёд шагнул автор и как отличен путь Лобачевского от его собственного. Работа восхитила Яноша, он даже составил свои замечания, в которых дал подробный критический разбор необыкновенного сочинения, не скупясь на возгласы одобрения и восклицательные знаки.

   Жизнь шла своим чередом. Отрешившись от всего света, Янош стал болезненно мечтательным и целиком ушёл в себя. Он весь как-то осунулся, постарел, тяжёлые переживания подорвали и без того его слабое здоровье. Янош Больяй умер в 1860 году, пережив отца всего на три года. Умер в полной безвестности. Слава к нему не торопилась.

   Через 36 лет на могиле Яноша Больяй в Марош-Вашаргеле появится памятник. В 1902 году по инициативе Венгерской академии наук был отпразднован 100-летний юбилей со дня рождения Яноша Больяй и установлена международная премия его имени. По  решению Совета Мира 17 января 1960 года отмечалось 100-летие со дня смерти великого геометра. Теперь имя Яноша Больяй известно всему учёному миру. Его замечательный труд "Аппендикс" переведён почти на все европейские языки.

   Чтобы проникнуть в суть содержания работы Яноша Больяй, остановимся на весьма беглых замечаниях. Прежде всего название "Аппендикс" такое: "Приложение, излагающее абсолютно верное учение о пространстве, независимо от правильности или ложности 11 аксиомы Евклида, с добавление геометрической квадратуры круга для случая ложности аксиомы".

   Как показывает само название, исследование Яноша Больяй посвящено изложению основ "абсолютной геометрии", первые начала которой заложил ещё Евклид. Но Янош Больяй пошёл дальше Евклида и вторгся в такие широкие области, где 5-й постулат уже не имеет места.

   В частности, в своей работе он показал, что вся сферическая геометрия и тригонометрия абсолютны, то есть могут быть развиты без помощи 5-го постулата; что в неевклидовой геометрии разрешимы обычными средствами квадратура круга, то есть всегда при помощи циркуля и линейки можно построить четырехугольник, равновеликий наперёд заданному кругу...

Окончание седьмой беседы "Хозяева идей неевклидовой геометрии" ( Лобачевский, Больяй, Гаусс ) следует далее...

1. Примечание: Источник: В.Д. Чистяков "Беседы о геометрии Лобачевского". Издательство "Вышейшая Школа". г. Минск, 1973 год. "Беседа седьмая : Хозяева идей неевклидовой геометрии" ( Лобачевский, Гаусс, Больяй ). Стр. 51-65

2 Примечание: Фотография венгерского геометра Яноша Больяй - одного из основателей неевклидовой геометрии