86. Тетради-отклики

    "«Геометрическое равенство» в «Горгии». Речь идет о повиновении. (Геометрическое равенство есть пропорция.)
Повинуясь Богу, мы в некотором смысле равняемся с ним. Так же, как сходно с равенством <геометрическое> подобие.
;;;;;;;;; есть изначальный грех. Желание расшириться.
Девять к трем — то же, что три к одному. Переходя от девяти к восьми, мы не приближаемся к единице, мы от нее отдаляемся. — (А переходя от девяти к десяти, отдаляемся от нее вдвое больше.)"

      С. Вейль. Тетради.


    Из современной математики только Дедекинд в работе "Что такое числа и для чего они служат" смог приблизиться верно к натуральному числовому ряду. Он рассматривает натуральный числовой ряд как бесконечное отображение единицы в самой себе - это греческий подход, хотя и выраженный современными абстрактными средствами. Его теория противостоит более известной теории Кантора о множествах и к сожалению по известности уступает последней.
    Именно в свете такой теории, которую раскладывает перед нами Дедекинд и которой стихийно всегда придерживались древние греки - переход от 9 к 10 есть лишь удаление от первоисточника (единицы), а переход от 9 к 8 - также вовсе не приближение к ней, а математическая операция "обратного опрокидывания" - реверса, и следовательно, вовсе не приближение к единице.
    Это бесконечное математическое расширение - движение не только в сторону однонаправленного числового натурального ряда, но и движение всех возможных математических операций в разные стороны, вместе с самоуглублением их в природу этих отношений - всё это и есть математика. Но не философия математики. Потому что философия математики это философия самой "единицы" и "правильных тел" - двух первоисточников нашего бесконечного математического размышления.
    Платон призывал мыслить и математиков, и философов "единицу" и "правильное тело", но его призывы и по сей день остаются тщетными. Уже Аристотель превратил понятие числа в эмпирически функционирующее понятие и тем самым закрыл вопрос о его подлинной философии.
    Расширяться можно, конечно, до бесконечности, но кто будет сужаться - вот в чём вопрос? Кто будет держать источники в своих руках, в своих мыслях?
Современная математика только наполовину всё ещё платоническая по своей склонности, но никак не по реальности. Достигнуть греческой реальности трудно - нет соответствующего образа жизни, а значит и соответствующего образа мышления. Поэтому мы остаёмся поклонниками Платона, но никак не его единомышленниками и наследниками. Остальная же половина математики открыто порывает с платоновским наследием.

    Что же касается "равенства", то это базовое понятие математики, скрыто содержащее в себе и неравенство, в алгебре оно работает как "прямое" понятие равенства и неравенства, а в геометрии как "скрытое" и "косвенное" - не только как равенство, но и как подобие, не только как величина, но и как пропорция.
Единица - это рукотворный, созданный нашим мышлением неразложимый элемент математики, равенство - его динамическое, актуальное понятие. В геометрии эту функцию выполняет точка, чьё условное движение образует бесконечное множество любых других тел. В целом же алгебра существует за счёт операции (функции), а геометрия за счёт пространства. Поэтому можно сказать и по-другому: точка - это последний, крайний предел пространства; а единица - последний и крайний предел любой операции.


    "Единица, самое малое из чисел. «Единица, единственное мудрое». Вот что бесконечно. Число, которое, увеличиваясь, думая, что приближается к бесконечности. Оно от нее отдаляется. Нужно принизить себя, чтобы возвыситься".

     С. Вейль. Тетради.


     Вопрос о том, где находится истинно бесконечное - в ощущении свободы и расширения ( в математическом образе - в удалении от единицы) или же в возвращении к своим первоистокам?
    Можно ли ставить вопрос как вопрос "или-или"? И движение от единицы, и движение к единице - равно могут быть свободными, и равно могут быть и не свободными. От чего это зависит?
    Думается, прежде всего от того - теряют ли они друг друга из вида - оба этих противоположных движения.
    Если бы "блудный сын" никогда не ушёл из дома, он никогда и не стал бы "блудным сыном". И не стал бы более любимым по возвращению, чем сын оставшийся дома. Глупо спрашивать почему вернувшегося возлюбили больше, глупо ревновать понапрасну и отсылать к своей истинной верности. Нерасширенная единица осталась бы безызвестной, если бы не математика. Её бы считали, но никогда про неё не знали бы. Но случилась математика, случилось расширение и случилось оно как чудо, как прорыв и это было прекрасное чудо человеческого рукотворения. Из ничего, из ниоткуда вдруг возникла математика. Из каких-то практических задач и эмпирических подсчётов. Так что безусловно это была случившаяся свобода, а не какой-то там "грех расширения". "Грех расширения" наступил потом, когда пришла пора возвращаться блудному сыну домой, а он не захотел и сказал "здесь лучше".
    Математика, которая поймала себя за хвост и поняла, что она математика, что она гениальное чудо - обязана была в этот же самый момент пойти теперь уже не только "дальше", чтобы быть "выше" и "больше", но пойти и обратно - пойти к себе домой. И греки ничуть в этом смысле не согрешили, они и пошли домой - не успев создать свою математику, они тотчас же стали осмысливать что такое число и что такое математика. Появился Платон - у древних греков всё было хорошо, а вот после... А вот после соотношение обоих противоположных движений - "расширения" и "сужения" нарушилось. Арабы подошли к математике прагматично-абстрактно, а не бытийно-образно, как греки, а на том месте, где были греки осталось собственно говоря "ничто" - практически до середины средних веков математика европейского мира находилась на стадии варварства.
     Но возродилась ли греческая едино-противоположная математика в Новое время? Нет, конечно же. От греков была взята только внешняя форма, а силы и возможности (динамис) были взяты у арабов. И до сих пор наша математика толкается вперёд арабским двигателем. Были и исключения, конечно, например, тот же Декарт - по его записям видно, что он мыслил всё равно геометрически, недаром в системе его философии протяжённость занимала такое значительное место.
     Боюсь, что современная математика не занимается ни расширением, ни сужением математики, она вообще занимается чем-то другим. С одной стороны, она занимается предельной формализацией, усвоив греческий урок, что форма это наше всё, но усвоив его лишь поверхностно, а с другой стороны наша математика движется прагматично-реальным подходом (изобретает новые виртуальные единицы для обслуживания новых технологических реальностей). Увы... греческий спор о расширении и сужении, так волнующий Симону, уже снят с повестки дня.