Беседы о математике и бесконечности 4

      Чикада. Уже ночь рассыпала по небосклону свои прекрасные звёзды, а наш разговор всё продолжается и продолжается, и мне не хотелось бы, чтобы он закончился. Но посмотрите, как красиво! И какое огромное количество звёзд смотрит на меня, их миллиарды и миллиарды, и как же нам быть с тем, что природа, наверное, действительно неисчерпаема? Разве неправы те, что их считали и продолжают считать?
      Тансилло. Всему своё время, мой мальчик, и своё место, и никто не говорит математике "не считай". Мы не хотим уничтожить математику, мы хотим другого, и при том двоякого: с одной стороны, мы хотим ограничить её непомерные и несправедливые притязания, показать какое в действительности место занимает она в знании мира; а с другой - открыть для неё неизведанные ещё горизонты, те самые, которые лежат вовсе не в преумножении чисел и операций, а в мышлении о числах.
Но после того, как я тебе это сказал, мне вдруг показалось, что в сущности то, это одно и тоже - что знание границ, что истинное расширение возможностей - это нечто одно, чему мы бы хотели научить математиков.
      Чикада. Но с математиками, я пожалуй, и соглашусь, но реальность... Реальность же неисчерпаема?
      Тансилло. Вы, как и все молодые спешите... Как и весь наш ещё молодой мир... Спешка... спешка... Какая реальность, мой Чикада, о какой реальности вы говорите? Уж не о той ли, где вот это "справа", а вот это "слева", но если я повернусь к ним спиной, то "правое" станет "левым", а "левое" - "правым"?
      Чикада. Я говорю о той реальности, которую вижу.
      Тансилло. Но мой друг, "видеть", да ещё и "реальность" могут только "умные очи".
Нам не избежать разговора о том, КАКОЙ УМ УЖЕ СИДИТ В НАШИХ ОЧАХ.
      Чикада. Значит, созерцая небо над своей головой и не имея ни одной мысли в своей голове - я всё равно мыслю?
      Тансилло. Конечно.
Чтобы созерцать бесконечный ряд натуральных чисел нужно иметь определённый тип мышления.
      Чикада. Ааа.. понимаю... И философа в первую очередь интересуют именно такие типы мышления, которые конституируют, выражаясь теоретическим языком, эти различные созерцания.
      Тансилло. Ну что-то вроде того... Потому что созерцать дурную бесконечность численного ряда и созерцать "число" как бесконечность - значит созерцать принципиально различным образом.
      Чикада. Но ведь существует не только число 1 как "число", и не только число 2 как "сумма", но и число 3, допустим, или 4, или 5, или 20. И они существуют не в одной лишь математике, но и в реальности.
      Тансилло. Ну и прекрасно... Давайте возьмём число 5 и посмотрим как его можно созерцать. Любое число, но мы, к примеру, возьмём 5.
      Чикада. И как же?
      Тансилло. Число 5 можно созерцать как нейтрально безразличный член бесконечного числового ряда. И в таком смысле мы могли бы, действительно взять, и любое другое число - и 7, и "гугол".
      Чикада. Но так его математики и созерцают!
      Тансилло. Увы... так... Но, мой друг, это число можно созерцать и иным образом.
      Чикада. Расскажите, расскажите...
      Тансилло. Это число можно созерцать как единое число, то есть как "неделимое", не дробящееся, то есть как величину. И тогда 5 будет у нас, к примеру, стороной треугольника - 5 см - ни больше и не меньше. Но что значительно важнее и что не разглядывают в таком созерцании - что число 5 здесь взято как нечто "одно", фактически оно взято как некоторая единица. Переводя на грубый язык: 5 здесь как 1.
      Чикада. Подробнее, ещё не понимаю...
      Тансилло. Когда мы берём 5 не как "считалку", идущую за 4 и превращающуюся тут же в 6, а как "свершившийся счёт", как "вот это 5" и никакое другое, мы берём его не как 1+1+1+1+1, а как целое непосредственное 5 - вот тогда и только тогда, оно работает в нашей математике как "некоторая единица". Кстати, так брали свои числа древние греки.
И у них была совершенно иная математика, утерянная всем ходом математики последующей.
      Чикада. Если я вас правильно понял, то вовсе не безразлично КАК взять 5, в КАКОМ ОТНОШЕНИИ - как член бесконечного многочлена, или как единое число, или же как "внутреннюю сумму"?
      Тансилло. Да, да, да... Мы снова на верной дороге.
Число 5 как счёт в дурной бесконечности - вовсе ещё не число, оно настолько безразлично к самому себе, что с ним можно вытворять что угодно - сравнивать его с другими числами, получать из каких угодно других чисел, дробить его как угодно другими числами. И все эти операции занимают крупные разделы нашей современной математики.
Но число 5, взятое как некоторая "единица", как 1 - сама величина, с которой приходится считаться. Теперь мы уже НЕ ЕЁ СЧИТАЕМ, а СЧИТАЕМ ЕЮ. И это кардинально отличный принцип.
Есть же ещё и третий способ, когда 5 предстаёт как "внутренняя сумма" - не как "внешняя сумма" (12 - 7 = 5 или иное бесконечное число вариантов), а как исключительно (1+1+1+1+1 или 2+3 или 4+1 - только в своём внутреннем кольце). И даже не так грубо, как я нарисовал, но тут лежат такие тонкости, о которых я не могу пока говорить.
     Чикада. Значит есть внешне считаемые числа, есть числа, КОТОРЫМИ мы считаем и есть уже"сосчитанные числа"?
     Тансилло. Да.
     Чикада. И это самое важное различение, которое должно проводиться в математике?
     Тансилло. Да.
Вместо всей логистики, вместо всей теории множеств, впереди всякой вероятности - в математике должно стоять ЗНАНИЕ О ТРЁХ ТИПАХ ОТНОШЕНИЯ К ЧИСЛУ!!!
     Чикада. Какой же тип отношения к числу превалирует в математике сегодня?
     Тансилло. Самый низкий и недостаточный, самый зависимый и относительный - тот, который зачаровывал наших древнейших предков, считавших по пальцам, а затем добавлявших с ужасом -"тьма"...
Современная математика - это математика внешне считаемых чисел - то есть предельная архаика мышления в продвинутой технологической оболочке. И там, где у первобытных людей были пальцы и "тьма", у нас триллионы, квадриллионы и "плексы", но ничего кардинально не поменялось, способ всё тот же самый. Именно поэтому мы легко можем передать этот способ мышления машине, искусственному интеллекту, поскольку никакой из двух других способов мышления - передать машине нельзя.
     Чикада. Но у древних греков был прорыв в иную математику?
     Тансилло. Был, мой дорогой Чикада, был... Но он утерян.
А современная математика неминуемо зайдёт в тупик, и она уже его почти признала, и шумиха вокруг апорий Зенона - лишь часть этого признания, этого знамения "общего тупика".
     Чикада. Но все иррациональные, комплексные числа...
     Тансилло. По своему способу это "внешне считаемые числа". Они приходят, дробят и виртуализируются из внешних отношений между числами. Это всё можно показать, мой дорогой Чикада, но уже не здесь и не на пальцах, конечно же...
     Чикада. Значит апории Зенона всегда будут властвовать над таким типом созерцания числа?
     Тансилло. Несомненно!
Но небо уже окрашивается бледно розовыми лучами, тишина такая прекрасная и предрассветная поёт голосом самых неприметных нежных птичек и вам нужно бежать скорей к себе и валиться в постель, и отдыхать - нет ничего блаженней покоя наступающего утра! До новых встреч, мой Чикада.