Беседы о математике и бесконечности

      Ч и к а д а. Какая разница между бесконечностью объ­екта и бесконечностью возможности?
      Тансилло. Эта последняя бесконечно-конечна, пер­вый же бесконечно-бесконечен.

      Д. Бруно. О героическом энтузиазме.


    Как прекрасно беседуют друг с другом на протяжении всей книги Джордано Бруно, Чикада и Тансилло! Почему бы и нам не перевоплотиться в этих вымышленных героев и не побеседовать на предмет наших споров от имени их лиц? Пусть так и будет! И пусть Джордано Бруно простит нам, что мы украли его любознательных героев.

     Чикада. Ну что же, тряхнём стариной, ведь не заржавели ещё ваши старые косточки, помнят дело? Я подозреваю, что вы совсем не случайно сюда пришли и можете многое порассказать нам по поводу наших споров.
     Тансилло. Мои старые косточки молодее молодых, и какой бы резвый бег мы тут с тобой сейчас не развили, молодым за нами точно не угнаться.
     Чикада. Так как же мы ответим, всем вот этим вот, продолжающим твердить хитрые зеноновские штучки, типа "худое не может потолстеть, толстое не может похудеть"? Ведь они предполагают, что доказывают это, раз невозможно пройти какой-нибудь отрезок пути - ни пробежать, ни потолстеть, ни похудеть?
     Тансилло. Тут гораздо важнее не то, что они нам постоянно предлагают и навязывают, а то, чем они сами на самом деле являются. Раз мы выяснили с вами, что мыслят они сугубо относительно, то и воздавать им нужно их же относительностью, то есть как говориться, "кесарю - кесарево".
Чтобы доказать, что "худое толстеет" мне совсем не нужно прибегать к вечному "перебиранию одного и того же", которое итак понятно, что никогда не переберётся, но я, разумея суть дела, а именно, что она есть "относительная бессмыслица", просто подведу к нашему "худому" ещё более "худого". Я отделю нашего "худого" от одной пары, где он "худей" и присоединю его к другой паре, где он явно "толстей", и таким образом, он вмиг у меня, как и должно, "потолстеет".
      Чикада. Ловко! И даже смешно становится, что серьёзные рассуждения прикладывают туда и к тому месту, где им быть вовсе не положено. Берут относительность и доказывают, что она относительна, и что поэтому она никогда не закончится. В общем стараются доказать то самое, что сами же и взяли в своём начале. Как если бы я взял кусок бумажки и доказывал потом самому себе и всем, что это именно кусок бумажки, а не кожи или металла допустим.
      Тансилло. Зато я, приведя к "худому" ещё более "худого", ни от кого не скрываю данную относительность, я не пытаюсь обрядить её в строгие одежды философии, и никому не морочу голову, и в моих действиях, рассматриваемая относительность лежит прямо на виду и она всем понятна.
      Чикада. Жаль, что мы ничего подобного не можем сказать про Зенона и его поклонников - тем кажется нравится спутывать с таким трудом различаемые для человека вещи, нравится сбивать его с толку, и сбитому втолковывать потом что угодно.
      Тансилло. Такие всегда будут, сколько бы мы не отлавливали их как мышей в нашей мысли. И всегда найдутся желающие побегать по кругу. Уважающий себя мыслитель мало обращает внимания на всю эту суету. Гораздо интересней приложить к нашей относительности подлинное мышление, первую реальную мысль...
      Чикада. Что вы имеете ввиду?
      Тансилло. А то, что сделал Хуэй Ши, который пусть и слабосильно, пусть и недостаточно, но всё же мыслил, а не морочил голову окружающим. И благодаря подлинным апориям Хуэй Ши, по поводу высказывания "худой не потолстеет, а толстый не похудеет", я однозначно могу сказать: "худой может потолстеть", и могу сказать это исходя не из здравого смысла, а из философии.
      Чикада. Как это?
      Тансилло. Разве Хуэй Ши не написал в своей подлинной апории, что "то, что не имеет толщины не может утолщаться?"
      Чикада. Написал, конечно.
      Тансилло. Но разве эта чёткая и первая мысль не значит, что "всё не имеющее толщины не утолщается, а всё имеющее толщину - может и утолщаться?"
      Чикада. Пожалуй, значит.
      Тансилло. Но тогда, друг мой, мы впервые уверенно и по философски можем заявить, что Зенон и иже с ним - лжец и лжецы, потому что всякий "худой" имеет толщину, а следовательно может утолщаться.
      Чикада. Ух, ты...
      Тансилло. Это пример, для всех нас, того, как сущностное знание может "улавливать" относительное. И не стесняясь, вскрывать всю его подноготную. Потому что либо ваш "худой" - совсем ничто, либо он всегда имеет возможность потолстеть, раз какую-то толщину он уже имеет, - вот так, и не иначе!
Сравните теперь Зенона и Хуэй Ши и скажите, теперь уже убеждённо - кто из них мыслит?
      Чикада. Я полностью согласен с вами, но знаете, мне всегда было интересней размышлять о самих пространстве и времени, чем о тех, кто что-то писал или говорил о них. Не могли бы и мы заняться этой темой вплотную?
      Тансилло. Это является и моим сокровенным желанием. Но трудно прийти к чему-нибудь дельному, когда обходишь всех, кто стоял когда-то на этом пути. Ведь они как помогают, так и затрудняют наше движение. Поэтому мы были вынуждены в минимально необходимой степени обговорить подобных "обманщиков", и подобных "помощников" нашей мысли. Но мы сбросили этот груз с плеч своих и можем говорить отныне свободно...
       Чикада. Давайте начнём с математики...
       Тансилло. Когда математик ставит точку на белом листе бумаги, то он и не догадывается и не знает - что делает в этот момент и чем орудует. Ему, как и механику, который вычисляет свои скорости и чертит траектории разнообразных движений, кажется, что точка - это всего лишь абстрактная, уменьшенная модель какой-то субстанции - предмета или вещи. Что точка нечто такое, в чём размерами предмета можно пренебречь.
       Чикада. Но разве у точки имеется какой-то иной смысл, иное значение?
       Тансилло. И математик, и механик подходят к своим точкам как к вещам, для них точка - это вещь, только абстрактная.
       Чикада. Но это я уже понял, но как может быть иначе?
       Тансилло. Иначе, друг мой, может быть так, что точка является "принципом", а не "вещью".
       Чикада. Ну знаете ли, это мне совершенно непонятно пока, но я надеюсь, что вы обязательно и обстоятельно разъясните такую мысль, потому что я как-то взволнован таким утверждением и ощущаю нечто необычное в вашем подходе.
        Тансилло. Если быть уж совсем точным, то и математики, и механики, всё же пользуются точкой как "принципом", но только нисколько не догадываются об этом, и потому в рамках своей механики или математики, всегда считают правильно, но как только дело заходит о философии, и притом философии не какой-нибудь, а философии их же математики или философии их же механики - они тотчас начинают плутать. И легко становятся добычей зеноновских "блужданий". И в каком-то роде клевещут даже на самих себя...
        Чикада. Но мне кажется, что мы опять отклонились куда-то в сторону. А ведь начало было столь интригующим. Я не могу согласиться или не согласиться с вами, потому что я не понимаю разницы: между точкой - "вещью" и точкой - "принципом". Не следует ли нам обстоятельно разобрать - почему различие между ними столь кардинально, как вы утверждаете?
         Тансилло. Представьте себе, что я поставил две точки и соединил их прямой и получил отрезок. Зенон говорит: пространство делимо до бесконечности. Но что он делит на самом деле, помимо своих громких заявлений? - он делит вот этот отрезок. Но что представляет из себя этот отрезок? Разве его концы - вот эти точки не являются символом "дальнейшего неделения"? Разве точка, которая по определению своему есть то, что не имеет частей - не является как раз "вот этим самым неделимым", что не заметил Зенон?
         Чикада. То есть вы хотите сказать, что в зеноновской "бесконечности" уже содержится "конечное" по определению? А в его "вечную делимость" уже вписана принципиальная неделимость?
         Тансилло. Именно.
         Чикада. Только такая, которую Зенон в упор не замечает?
         Тансилло. Именно.
         Чикада. И которую, как слепые щенята на поводке, не замечают и математики?
         Тансилло. И всё потому, что я решил рассмотреть здесь точку как "принцип".
        Хуэй Ши прекрасно понимал, это видно из его апорий, что "не имеющее толщины" является принципом. И поэтому складывая "не имеющее толщины" - толщины не получишь. А математики потому пытаются, суммируя свои точки, получать линии, что они к своим точкам относятся как к "вещам", которые "имеют толщину", и которые поэтому можно сложить. Но что можно получить, складывая друг с другом один и тот же "принцип неделимости"?
         Чикада. Как-будто какой-то свет начал прорываться сквозь завесу, но он как луч, как нить, которую я быстро теряю... Подождите, вы говорите, что, ставя точку на чистый лист бумаги, мы тем самым полагаем, что нечто теперь неделимо?
         Тансилло. Друг мой, давайте вернёмся к отрезку - за счёт чего мы можем совершать с ним математические операции? За счёт того, что мы положили для себя на "поле реального пространства", поверх этого "реального поля" - два мыслительных принципа - причём, два противоположных принципа: "тело" отрезка теперь - бесконечно делимо, а границы его "точки" - утверждают неделимое. И вот, при помощи этих двух принципов мы и строим все свои конструкты.
         Чикада. Но ведь математики и в математике как раз точкой то и делят всё!
         Тансилло. Вы совершенно правы! Но чтобы понять, что тут происходит, нужно рассмотреть как соотносятся друг с другом и работают в математике (геометрии) - точка, пространство и линия (хотя бы линия, потому что плоскость - аналогично).
         Чикада. Я думаю у нас есть ещё немного времени, чтобы, пусть и бегло, но всё это рассмотреть.
         Тансилло. Пожалуй...
Чем является точка по отношению к пространству? - Крайней степенью отрицания его.
У точки нет никаких размеров и размерностей, однако же она находится прямо посреди этого самого пространства. Но, как скажите мне, она могла бы там быть, если бы она не была всего лишь принципом, а не реальным "нечто", возникшим в этом пространстве? В "точке" пространство заявляет о себе, как о неделимом. Пространство не делится до бесконечности, а сворачивается в "точку". Когда у ребёнка спрашивают где центр Вселенной, он показывает в любое место пальцем и говорит: тут. Ребёнок выбирает "точку". Где угодно. Ведь важно выбрать принцип, а не место.
Сегодня же про "точку" говорят, что она не имеет размеров, но зато имеет координаты. Но, простите, здесь, опять рассматривают и опять мыслят лишь относительные "связи" точки со всем остальным, возникающие гораздо позже и после всего остального уже действующего, в крайнем случае после того, как появится одна "точка" и по крайней мере "другая точка". Математики так любят мыслить "относительность", что уходят от собственных корней всё дальше и дальше.
          Чикада. Относить "точку" к остальным "точкам"  - немудрёное занятие, развитое до мудрёного занятия сегодняшних дней, но мы с вами возжелали брать "точку" как "принцип".
          Тансилло. Да.
          Чикада. И что же мы получили?
          Тансилло. Мы получили крайне важную "вещь" - ту самую, о которой говорили не мы с вами, как выдуманные нашим автором персонажи, а мы с вами как собеседники произведения Джордано Бруно, и которую мы взяли для себя начальной цитатой.
          Чикада. Говорите яснее...
          Тансилло. Мы получили возможность превратить бесконечность бесконечности в бесконечность определённости. Мы получили науку геометрию о пространстве и науку механику о движении. Мы взяли "неделимое" (нашим способом) пространство и получили его как "делимое" и всё это благодаря тому, что стянули реальную неделимость его в "ТОЧКУ"!!!!