Тригонометрия

Прямоугольный возьмём треугольник,               
Соотношения рассмотрим сторон.               
Гипотенузы квадрат, как мы помним,               
Сумме квадратов других двух сторон               
Равен. Возьмём треугольник подобный               
Нашему, выберем угол любой,               
И отношенья сторон в виде дроби               
Сравнивать будем. Довольно простой               
Вывод получим: сторон отношенья               
Не изменяются. Их для угла               
Вычислить можно, а для упрощенья               
Числам наука названья дала.               
Так, при делении на гипотенузу               
Катета (тот, что напротив угла)               
Синус получим, а катета снизу,               
Рядом лежащего – косинус. Для               
Соотношения катетов этих               
Тангенс считают, а наоборот –               
Будет котангенс. Окружность начертим               
И назовём единичной её:               
Радиус примем в ней за единицу.               
Угол отложим по оси абсцисс.               
Синус получится на оси У,               
Косинус, стало быть, на оси Х.               
График начертим теперь и узнаем,               
Как изменяются функции все:               
Синус и косинус, тангенс, котангенс;               
Их величины при каждом угле.               
С увеличеньем угла до прямого               
В четверти первой и синус растёт,               
Косинус падает, и с нулевого               
До бесконечности тангенс идёт;               
Из бесконечности мчится котангенс,               
Тангенсу наперекор, до нуля.               
Далее всё закружилось, как в танце.               
Вот, перед нами картина их вся.               
Если разделим на части окружность,               
Равные радиусу, то тогда               
Два пи отрезка на ней мы получим,               
Круг же составит два пи радиан.               
Чаще в задачах окружности делят               
На 8 и на 12 частей.               
Будем рассматривать первую четверть,               
Прочие же – симметричные ей.               
Синусы взятых углов по порядку               
Будут равны половине корней               
Номера их, и в обратном порядке               
Косинус движется. Так из корней               
Тех номеров отношений получим               
Тангенс с котангенсом. Знак же берём               
Из соответствия знаков по кругу.               
Мы основной рассмотрели закон.               
Дальше рассмотрим закон отношений               
Функций при кратных и дробных углах,               
Формулы разные перемножений               
И аргументов сложений. Итак,               
Синус и косинус – сумма квадратов               
Будет равна единице. Теперь               
Синус и косинус мы вычисляем               
Корнем из разности… Формулы здесь               
Для упрощения часто имеют               
Обозначенье: под корнем – один,               
Плюс или минус квадрат чего-либо, -               
Пишем тот символ и ставим над ним               
Плюс или минус. Вот, в виде таблицы               
 Мы представляем их взаимосвязь.               
Косинус можно найти через синус,               
Тангенс, котангенс. Рассмотрим сейчас               
Угол двойной (вводим символы снова).               
Снова таблица, но чуть посложней.               
В этих таблицах отметим особо               
Формулы, что для решений нужней.               
Для половинных углов мы получим               
Множество формул. Из них мы возьмём               
Несколько главных. Затем мы изучим               
Формулы функций для разных углов.               
Несколько формул сложения функций,               
Несколько – перемножения их.               
И, наконец, если суммы берутся               
Двух аргументов, и разности их.               
Чтобы все формулы эти запомнить,               
Логику надо освоить таблиц.               
Синус и косинус стоит лишь вспомнить,               
Дальше их надо взаимно делить.               
Это – для первой таблицы. И тут же               
Можно заметить, что синус стоит               
С минусом сверху, и косинус тоже;               
Тангенс с котангенсом держат в дроби               
Сверху по плюсику. Произведенье               
Этих двух строчек умножить на два –               
Синус двойного угла даст. Значенье               
Косинуса получается так:               
Синус  в квадрате, двойной, отнимаем               
От единицы; а можно и так:               
Косинус, тоже в квадрате, и на два,               
Минус один. Можно даже считать               
Разность квадратов их (косинус и синусом).            
Тангенс с котангенсом снова в дроби               
С плюсом стоит, как у верхнего синуса,               
Минус в числителе держат они.               
Для половинных углов очень просто               
Функции разные можно найти.               
Если квадратный считается корень               
Из полуразности этой: один               
И просто косинус, - это даст синус,               
А полусумма под корнем таким               
Косинус даст. Заменить половинный               
Угол на практике можно простым. -               
Косинус будет под корнем считаться               
Для аргумента двойного, причем,               
Если в таблицах чуть-чуть разобраться,               
Можно использовать этот прием               
Там, где удобно. Находится тангенс               
И через синус: делить на него               
Выше указанную нами разность,               
А для котангенсов – сумму. Всего               
Здесь не опишешь – от разнообразия               
Формул и правил в глазах запестрит.               
Главное, чтобы на практике разные               
Формулы эти суметь применить.               
Для аргументов различных рассмотрим               
Формулы функций сложения и               
Произведения их, и запомним               
Логику взаимодействия их.               
Если для двух аргументов мы сумму               
Синусов вдруг захотим посчитать,               
То полуразность корней с полусуммой               
Нам предварительно надо узнать.               
Синус затем полусуммы удвоим               
С косинусом полуразности. А               
Косинус той полусуммы умножим               
На полуразности синус и два –               
Синусов разность получим. Для суммы               
Косинусов умножаются тут               
Косинусы тех углов полусуммы               
На синус их полуразности, - вот               
Формула для нахождения нужной               
Разности косинусов двух углов.               
Тангенсов сумма и разность имеет               
Дробь, где в числителе синус стоит               
Суммы иль разности. Произведенье               
Косинусов в знаменателе. И               
Для нахожденья котангенсов суммы               
(Разности) – синус их суммы берем               
(Разности), а знаменатель тут будет               
Синусов произведенье.  Причем,               
Минус стоит перед дробью последней.               
Произведения функций углов               
Разных имеет в своих выраженьях               
Суммы (для синусов – разность). Так вот,               
Косинусы – в знаменателе двойка,               
Суммы и разности косинусы               
Будут в числителе. Синусы – двойка,               
Разности косинус и суммы их.               
Синус и косинус – двойка опять,               
Разности синус и суммы углов.               
Тангенсы – надо в числителе взять               
Их же; котангенсы этих углов               
Для знаменателя мы подставляем.               
А для котангенсов – наоборот:               
Ставят в числителе их; знаменатель -               
Тангенсов сумма двух разных углов.               
Тангенс с котангенсом – сумму их будем               
Ставить в числителе. Тех же углов               
Сумму находим обратных их функций               
И в знаменателе ставим потом.               
Косинус суммы углов будет равен               
Разности произведений таких:               
Косинусов их и синусов. Дальше:               
Косинус разности – сумму даст их.               
Синус же суммы углов даст нам сумму             
Смешанных произведений. Когда               
Разности синус находим, то тут мы               
Разность их ставим. Для тангенсов так               
Строится дробь: ставим сумму в числитель    
Тангенсов; в знаменатель – один               
Минус их произведенья, - смотрите, -               
Это для тангенса суммы, а минус               
Знаки меняет. Котангенс находят               
По аналогии, но только дробь               
Перевернуть надо, и перед дробью               
 Минус поставить. Вот это и все.