Яков Перельман Живая математика

ИЗ ИНТЕРНЕТА
................

Яков Перельман
Живая математика. Занимательные задачи для любознательных умов

Предисловие редакции
Яков Исидорович Перельман никогда не был ученым в прямом значении этого слова – не совершал научных открытий, не имел званий и степеней, однако всю свою жизнь посвятил науке. Он никогда не считал себя писателем, но его книги выходили такими большими тиражами, что составили целую научно-популярную библиотеку. Став первым в стране популяризатором физики, математики и астрономии, основоположником занимательной науки, одним из первых писателей жанра научно-популярной литературы, он успевал заниматься еще множеством самых разных дел – преподавал, создавал новые учебные программы, редактировал журналы, участвовал в работе научных обществ, постоянно выступал с докладами.
Популяризацией науки задолго до Перельмана занимались многие авторы, но только он достиг в этом деле огромного мастерства, сумев точно нащупать его секреты и выработать «фирменный» стиль повествования. Профессор физики Петербургского университета Орест Данилович Хвольсон, познакомившись с Перельманом и узнав, что книга написана не ученым-физиком, а ученым-лесоводом, сказал Якову Исидоровичу: «Лесоводов-ученых у нас предостаточно, а вот людей, которые умели бы так писать о физике, как пишете вы, нет вовсе. Мой вам настоятельнейший совет: продолжайте, обязательно продолжайте писать подобные книги и впредь».

 
В чем же секрет произведений Перельмана? Именно он мастерски умел оперировать сухими цифрами, знал, как с помощью неожиданно простого и понятного сравнения привлечь внимание читателя к сложным научным фактам и явлениям природы. Он сохранил в себе способность удивляться и подмечать в обыденных вещах то, чего не видит большинство людей, и умел увлекательно рассказывать об этом другим. Я.И. Перельман впервые в России предложил перевести стрелку часов на час вперед в целях экономии горючего, разработал проект первой советской противоградовой ракеты, а в середине 30-х годов он задумал и создал удивительный музей – «Дом занимательной науки», экспонаты которого поражали своими возможностями. Так, простые торговые весы могли без труда отгадать любое задуманное число и фамилию. Даже буфет «Дома занимательной науки» был устроен с разными причудами. Наряду с обычной здесь попадалась и «оперельманенная» посуда. Из бутылки, стоящей в битом льду, наливали кипящий чай, а чайная ложка таяла быстрее сахара, который она размешивала.

 
Вклад Перельмана в образование трудно переоценить: с 1913 года его книги только на русском языке переиздавались более 300 раз тиражом почти 15 миллионов экземпляров. Библиография Перельмана насчитывает более 1000 статей и заметок, опубликованных им в различных изданиях. И это помимо 47 научно-популярных, 40 научно-познавательных книг, 18 школьных учебников и учебных пособий. Книги Я.И. Перельмана 126 раз издавались в 18 зарубежных странах более чем на 15 языках.
* * *
«Живая математика» Я.И. Перельмана впервые вышла в свет в 1934 году в Государственном технико-теоретическом издательстве (Гостехиздат) и с тех пор многократно переиздавалась. Книга, которую вы держите в руках, по тексту соответствует пятому изданию, вышедшему в 1958 году. Текст не претерпел изменений относительно использованных в нем реалий, лишь были внесены необходимые пояснения в потенциально трудных для современного читателя местах. Одна из наиболее доступных для имеющего лишь начальную подготовку читателя книга серии, «Живая математика» содержит занимательные задачи и головоломки, многие из которых для большей увлекательности облечены в форму небольших рассказов. Решая занимательные задачи, как юные, так и уже взрослые читатели тренируют не только своё владение математикой, но и логическое мышление, воображение, смекалку.
Предисловие
Для чтения этой книги достаточна весьма скромная математическая подготовка: знание правил арифметики и элементарные сведения из геометрии. Лишь незначительная часть задач требует умения составлять и решать простейшие уравнения. Тем не менее содержание книги весьма разнообразно: от пёстрого подбора головоломок и замысловатых трюков математической гимнастики до полезных практических примеров счёта и измерения. Составитель заботился о свежести включаемого материала и избегал повторения того, что входит в другие сборники того же автора («Фокусы и развлечения», «Занимательные задачи»). Читатель найдёт здесь сотню головоломок, не включённых в прежние книги, причём некоторые из задач, например крокетные, вообще никогда не публиковались. Глава VII – «Рассказы о числах-великанах» – представляет собою переработку брошюры автора, пополненной четырьмя новыми рассказами.


Яков Перельман
Живая математика.

Глава седьмая. Рассказы о числах-великанах

59. Выгодная сделка.

Когда и где происходила эта история - неизвестно. Возможно, что и вовсе не происходила; даже скорее всего, что так. Но быль это или небылица, история достаточно занятна, чтобы ее послушать.

1. Богач-миллионер возвратился из отлучки необычайно радостный: у него была в дороге счастливая встреча, сулившая большие выгоды.

"Бывают же такие удачи, - рассказывал он домашним. - Неспроста, видно, говорят, что деньга на деньгу набегает. Вот и на мою деньгу денежка бежит. И как неожиданно! Повстречался мне в пути незнакомец, из себя не видный. Мне бы и разговаривать с ним не пристало, да он сам начал, как проведал, что у меня достаток есть. И такое к концу разговора предложил выгодное дельце, что у меня дух захватило.

- Сделаем, - говорит, - с тобой такой уговор. Я буду целый месяц приносить тебе ежедневно по сотне тысяч рублей. Не даром, разумеется, но плата пустяшная. В первый день я должен по уговору заплатить - смешно вымолвить - всего только одну копейку.

Я ушам не верил:

- Одну копейку? - переспрашиваю.

- Одну копейку, - говорит. - За вторую сотню тысяч заплатишь 2 копейки.

- Ну, - не терпится мне. - А дальше?

- А дальше: за третью сотню тысяч 4 копейки, за четвертую 8, за пятую - 16. И так целый месяц, каждый день вдвое больше против предыдущего.

- И потом что? - спрашиваю.

- Все, - говорит, - больше ничего не потребую. Только крепко держать уговор: каждое утро буду носить по сотне тысяч рублей, а ты плати, что сговорено. Раньше месяца кончать не смей.

Сотни тысяч рублей за копейки отдает! Если деньги не фальшивые, то не в полном уме человек. Однако же дело выгодное, упускать не надо.

- Ладно, - говорю. - Неси деньги. Я-то свои уплачу аккуратно. Сам, смотри, не обмани: правильные деньги приноси.

- Будь покоен, - говорит; - завтра с утра жди.

Одного только боюсь: придет ли? Как бы не спохватился, что слишком невыгодное дело затеял! Ну, до завтра недолго ждать".

2. Прошел день. Рано утром постучал богачу в окошко тот самый незнакомец, которого он встретил в дороге.

- Деньги готовь, - говорит. - Я свои принес.

И, действительно, войдя в комнату, странный человек стал выкладывать деньги - настоящие, не фальшивые. Отсчитал ровно сто тысяч и говорит:

- Вот мое по уговору. Твой черед платить.

Богач положил на стол медную копейку и с опаской дожидался, возьмет гость монету или раздумает, деньги свои назад потребует. Посетитель осмотрел копейку, взвесил в руке и спрятал в суму.

- Завтра в такое же время жди. Да не забудь, две копейки припаси, - сказал он и ушел.

Богач не верил удаче: сто тысяч с неба свалилось! Снова пересчитал деньги, удостоверился хорошенько, что не фальшивые: все правильно. Запрятал деньги подальше и стал ждать завтрашней уплаты.

Рис. 50. 'Сто тысяч с неба свалилось!'
Рис. 50. 'Сто тысяч с неба свалилось!'

Ночью взяло его сомнение: "не разбойник ли простаком прикинулся, хочет поглядеть, куда деньги прячут, да потом и нагрянуть с шайкой лихих людей?

Запер богач двери покрепче, с вечера в окно поглядывал, прислушивался, долго заснуть не мог. На утро снова стук в окно: незнакомец деньги принес. Отсчитал сто тысяч, получил свои две копейки, спрятал монету в суму и ушел, бросив на прощанье:

- К завтрашнему четыре копейки, смотри, приготовь.

Снова радуется богач: вторая сотня тысяч даром досталась. А гость на грабителя не похож: по сторонам не глядит, не высматривает, свои только копейки требует. Чудак! Побольше бы таких на свете, умным людям хорошо бы жилось...

Явился незнакомец и на третий день - третья сотня тысяч перешла к богачу за 4 копейки.


 
Еще день, и таким же манером явилась четвертая сотня тысяч - за 8 копеек.

Пришла и пятая сотня тысяч - за 16 копеек.

Потом шестая за 32 копейки.

Спустя семь дней от начала сделки получил наш богач уже семьсот тысяч рублей, а уплатил пустяки:

1 коп. + 2 коп. + 4 коп. + 8 коп. + 16 коп. + 32 коп. + 64 коп. = 1 р. 27 к.

Понравилось это алчному миллионеру, и он уже стал сожалеть, что договорился всего на один только месяц. Больше трех миллионов получить не удастся. Склонить разве чудака продлить срок еще хоть на полмесяца? Боязно: как бы не сообразил, что зря деньги отдает...

А незнакомец аккуратно являлся каждое утро со своей сотней тысяч. На 8-й день получил он 1 р. 28 к., на 9-й - 2 р. 56 к., на 10-й - 5 р. 12 к., на 11-й - 10 р. 24 к., на 12-й - 20 p. 48 к., на 13-й - 40 р. 96 к., на 14-й - 81 р. 92 к.

Богач охотно платил эти деньги: ведь он получил уже один миллион 400 тысяч рублей, а отдал незнакомцу всего около полутораста рублей.

Недолго, однако, длилась радость богача: скоро стал он соображать, что странный гость не простак и что сделка с ним вовсе не так выгодна, как казалось сначала. Спустя 15 дней приходилось за очередные сотни тысяч платить уже не копейки, а сотни рублей, и плата страшно быстро нарастала. В самом деле, богач уплатил во второй половине месяца:

за 15-ю сотню тысяч     163 р. 84 к.,
за 16-ю сотню тысяч     327 р. 68 к.,
за 17-ю сотню тысяч     655 р. 36 к.,
за 18-ю сотню тысяч    1310 р. 72 к.,
за 19-ю сотню тысяч    2621 р. 44 к.
Впрочем, богач считал себя еще далеко не в убытке: хотя и уплатил больше пяти тысяч, зато получил 1800 тысяч.


 
Прибыль, однако, с каждым днем уменьшалась, притом все быстрее и быстрее.

Вот дальнейшие платежи:

за 20-ю сотню тысяч      5242 р. 88 к.,
за 21-ю сотню тысяч     10485 р. 76 к.,
за 22-ю сотню тысяч     20971 р. 52 к.,
за 23-ю сотню тысяч     41943 р. 04 к.,
за 24-ю сотню тысяч     83886 р. 08 к.,
за 25-ю сотню тысяч    167772 р. 16 к.,
за 26-ю сотню тысяч    335544 р. 32 к.,
за 27-ю сотню тысяч    671088 р. 64 к.
Платить приходилось уже больше, чем получать. Тут бы и остановиться, да нельзя ломать договора.

Дальше пошло еще хуже. Слишком поздно убедился миллионер, что незнакомец жестоко перехитрил его и получит куда больше денег, чем сам уплатит...

Начиная с 28-го дня, богач должен был уже платить миллионы. А последние два дня его вконец разорили. Вот эти огромные платежи:

за 28-ю сотню тысяч    1342177 р. 28 к.,
за 29-ю сотню тысяч    2684354 р. 56 к.,
за 30-ю сотню тысяч    5368709 р. 12 к.
Когда гость ушел в последний раз, миллионер подсчитал, во что обошлись ему столь дешевые на первый взгляд три миллиона рублей. Оказалось, что уплачено было незнакомцу

 10737418 р. 23 к.
Без малого 11 миллионов!.. А ведь началось с одной копейки. Незнакомец мог бы приносить даже по три сотни тысяч и все-таки не прогадал бы.

3. Прежде чем кончить с этой историей, покажу, каким способом можно ускорить подсчет убытков миллионера; другими словами - как скорее всего выполнить сложение ряда чисел:

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + и т. д.
Нетрудно подметить следующую особенность этих чисел:

 1 = 1
 2 = 1 + 1
 4 = (1 + 2) + 1
 8 = (1 + 2 + 4) + 1
16 = (1 + 2 + 4 + 8) + 1
32 = (1 + 2 + 4 + 8 + 16) + 1 и т. д.

 
Мы видим, что каждое число этого ряда равно всем предыдущим, вместе взятым, плюс одна единица. Поэтому, когда нужно сложить все числа такого ряда, например от 1 до 32768, то мы прибавляем лишь к последнему числу (32768) сумму всех предыдущих, иначе сказать - прибавляем то же последнее число без единицы (32768 - 1). Получаем 65535.

Этим способом можно подсчитать убытки алчного миллионера очень быстро, как только узнаем, сколько уплатил он в последний раз. Его последний платеж был 5368709 р. 12 к.

Поэтому, сложив 5368709 р. 12 к. и 5368709 р. 11 к., получаем сразу искомый результат:

10737418 р. 23 к.