Недоверие - это значит не до веры? Или... Это было до веры? Или... Им недосуг верить?
Проверить - это про вера?
Доверие - это то, что предшествует вере? До веры?
Слова несут очень чёткую смысловую и информационную окраску. От ежедневного использования "глаз замыливается". И мы, не задумываясь, воспроизводим чужие мысли, облекая их в некие формы...