Моему учителю математики, Г.Ф.Шмуллину, с любовью и уважением, посвящается...
ВЫСШЕЕ НАЗНАЧЕНИЕ МАТЕМАТИКИ СОСТОИТ В ТОМ, ЧТОБЫ НАХОДИТЬ СКРЫТЫЙ ПОРЯДОК В ХАОСЕ, КОТОРЫЙ НАС ОКРУЖАЕТ.
Человек всю жизнь стремится к знаниям, пытается изучить окружающий его мир. И в процессе наблюдений у него возникают вопросы, на которые требуется найти ответы. Ответы находятся, но появляются новые вопросы. В археологических находках, в следах цивилизации, отдаленных друг от друга во времени и в пространстве, встречается один и тот же элемент – узор в виде спирали. Некоторые считают его символом солнца и связывают с легендарной Атлантидой, но истинное его значение неизвестно. Что общего между формами галактики и атмосферного циклона, расположением листьев на стебле и семян в подсолнухе? Эти закономерности сводятся к так называемой «золотой» спирали, удивительной последовательности Фибоначчи, открытой великим итальянским математиком XIII века.
История возникновения чисел Фибоначчи
Впервые о том, что такое числа Фибоначчи, я услышал от учителя математики. Но, кроме того, каким образом складывается последовательность этих чисел, я не знал. Вот чем на самом деле знаменита эта последовательность, каким образом она влияет на человека, я и хочу вам рассказать.
О Леонардо Фибоначчи известно немного. Нет даже точной даты его рождения. Известно, что он родился в 1170 году в семье купца, в городе Пизе, в Италии. Отец Фибоначчи часто бывал в Алжире по торговым делам, и Леонардо изучал там математику у арабских учителей. Впоследствии он написал несколько математических трудов, наиболее известным из которых является «Книга об абаке», которая содержит почти все арифметические и алгебраические сведения того времени.
Числа Фибоначчи – это последовательность чисел, обладающая рядом свойств. Эту числовую последовательность Фибоначчи открыл случайно, когда пытался в 1202 году решить практическую задачу о кроликах. «Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится в течение года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения». При решении задачи он учел, что каждая пара кроликов порождает на протяжении жизни еще две пары, а затем погибает. Так появилась последовательность чисел: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … В этой последовательности каждое следующее число равно сумме двух предыдущих. Её назвали последовательностью Фибоначчи.
Математические свойства последовательности
Мне захотелось исследовать эту последовательность, и я выявила некоторые её свойства. Эта закономерность имеет большое значение. Последовательность все медленнее приближается к некоему постоянному отношению, равному примерно 1,618, а отношение любого числа к последующему примерно равно 0,618.
Можно заметить ряд любопытных свойств чисел Фибоначчи:
1.Два соседних числа взаимно просты;
2.Каждое третье число четно;
3.Каждое пятнадцатое оканчивается нулем;
4.каждое четвертое кратно трем.
5.Если выбрать любые 10 соседних чисел из последовательности Фибоначчи и сложить их
вместе, всегда получится число, кратное 11.
6.Каждая сумма равна числу 11, умноженному на седьмой член взятой последовательности.
Возьмем любые четыре последовательные числа из последовательности,
Например, 2, 3, 5 и 8, и построим еще три числа следующим образом:
1). Произведение двух крайних чисел: 2*8=16;
2). Удвоенное произведение двух чисел в середине: 2*(3*5)=30;
3). Сумма квадратов двух средних чисел равна половине суммы квадратов крайних: 9+25=34; (4 +64)=68:2 =34 Этот метод работает для любых четырех последовательных чисел Фибоначчи. Предсказуемым образом ведут себя любые три последовательных числа ряда Фибоначчи. Если перемножить из них два крайних и результат сравнить с квадратом среднего числа, то результат всегда будет отличаться на единицу. Например, для чисел 5, 8 и 13 получим: 5*13=64+1. Если рассмотреть это свойство с точки зрения геометрии, можно заметить нечто странное...